走出均值不等式求最值的误区

李培莹

（大同大学浑源师范分校，山西 大同 037400）

走出均值不等式求最值的误区

李培莹

（大同大学浑源师范分校，山西 大同 037400）

均值不等式是高中数学的一个难点，学生在应用均值不等式时往往会忽视均值不等式成立的三个条件，造成学生运用均值不等式求最值的误区.

均值不等式；最值；误区

利用均值不等式求函数最值是高中数学非常重要的知识点，也是考试的热点问题，基本上每份试卷都有这方面的题目，因此特别提醒大家要注意均值不等式的使用条件，不要陷入误区．常见的误区有如下几个方面:

误区一：忽视正数条件．

误区二：忽视等号成立条件

误区三：忽视定值条件

误区四：两次以上使用平均值不等式，忽视等号能否同时成立

误区五：条件不够，束手无策

针对上面容易出现的误区，我在下文中，举例说明容易出现的误区和解决方法.希望能更好地应用均值不等式.

几个重要的均值不等式:

注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一个重要的不等式链：

1 错误原因分析

1.1 忽视“一正”即a和b两项都是正数

错误原因分析：由得log2x<0，因而构成不等式的两项均为负数，不符合均值不等式的要求，所以不能直接运用均值不等式，需要将各项化为正数才可以使用均值不等式.

小结：运用均值不等式时必须符合a和b两项都是正数，否则就会出错.

1.2 忽视了a=b成立的条件

教师提示：请同学们思考答案是否正确？错在哪里？

错解原因分析：在解答过程中没有验证a=b成立的条件，事实上方程，x2+2=1，即x2=-1无解，所以等号不成立，从而不能直接用均值不等式求解.

小结：均值不等运用式时必须取到a=b>0时，才能运用均值不等式求最值.

1.3 忽视积或和必须是定值

例3 设a≥0,b≥0,2a2+b2=2,求的最大值

小结：均值不等运用式时和或积必须是定值.当和一定积取最大值，当积一定和取最小值.

2 走出误区

2.1 条件不足时利用函数的单调性

2.2 和的定值条件不足时配系数

2.3 积的定值条件不足时配常数

（1）等号不成立时利用三角换元

例8设实数m,n,x,y,满m2+n2=1，x2+y2=2，则mx+ny的最大值是多少？

但是我们应该注意到上式是在当且仅当m=x,n=y时才能成立，所以结论与题设m2+n2=1，x2+y2=2矛盾.故所求的最大值不是.

（2）形式不一致时适当拆项

归纳总结：在运用均值不等式求函数最值时，一定要把握不等式成立的三个条件，就是一正——各项都是正数，二定——和或积必须是定值，三相等——不等式各项必须相等时不等式等号才能成立.若忽视了三个条件的任何一个条件都会出错.所以同学们在运用均值定理求解函数最值时要注意三个条件缺一不可.同时又能灵活的加以运用，那么我们就可以避免出现上述的错误，顺利地走出误区.

文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2014）01-0004-02