岩土工程非线性位移时间序列分析的灰色自记忆模型

邓金鹏，黄 东，谢学斌

(1.十一冶建设集团有限责任公司, 广西 柳州市 545007；2.中国有色金属长沙勘察设计研究院有限公司，湖南 长沙 410011；3.中南大学 资源与安全工程学院， 湖南 长沙 410083)

0 引 言

目前用于岩土工程非线性位移时间序列预测的方法或模型较多，主要有：时间序列分析方法[1-2]，如AR模型、ARMA模型等；灰色理论预测[3-4]，如GM(1，1)模型；智能算法[5-6]，如人工神经网络BP算法、支持向量机方法；非线性混沌时间序列分析[7]；组合预测方法，如灰色─神经网络模型[8]、神经网络─时间序列分析模型[9]、灰色─支持向量机模型[10]等。上述方法或模型各有其适用性与优点，但也存在一些不足。比如时间序列分析AR模型或ARMA模型模型本质上是线性的，不能反应位移时间序列非线性特征。人工神经网络预测方法在学习样本数量有限时，精度难以保证，学习样本数量多时，又可能陷入“维数灾难”[11]。灰色GM(1,1)模型的建模机理实际上是一个指数模型，而位移监测资料的时间序列其累加生成未必一定具有指数规律，事实上是常常不具有指数规律[11-12]。因此，研究岩土工程非线性位移时间序列建模预测新方法，提高位移时间序列的预测精度，对于岩土工程的稳定性分析预报与灾害防治，具有较重要意义。

本文将岩土工程非线性位移随时间的演化视为动力学系统的演化问题，基于动力系统自记忆性原理[13]，在灰色系统理论的基础上，利用历史量测数据反演得到系统灰色微分方程，以此作为微分动力核，建立位移预测的灰色自记忆模型，并进行了工程实例分析研究。结果表明，本文提出的灰色自记忆模型具有良好的预测精度。

1 动力系统自记忆原理与建模方法

1.1 动力系统自记忆原理

设系统演化的动力微分方程为:

(1)

式中t、r、x分别为时间、空间和变量，λ为参数。定义记忆函数为β(r,t)，若假设固定在某一具体空间点ri上，则可以在F、β的函数式中省写r。在Hilbert空间定义的内积运算为：

(2)

设有某一时间集合T=[t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t]，其中时间序列间隔为Δt，t0是预测的初始时刻，t为未来的预测时刻。t-p,…,t0是历史观测时刻(次)，预测的回溯阶数为p。引进记忆函数β(t)，用上述Hilbert空间定义的内积运算对动力微分方程式(1)在区间[t-p,t]上进行积分运算，可得下式：

(3)

对(3)式等号左边的所有积分项分别应用分部积分原理及微分中值定理并化简，可得：

(4)

1.2 自记忆方程的离散数值预测模型

(5)

(6)

式中,αi=(βi+1-βi)/βt，θi=βi/βt。求出记忆系数αi，θi，则可以用(6)式进行模拟、预测和预报。

1.3 自记忆模型中记忆系数的求解

可采用最小二乘法求解(6)式中自记忆模型的记忆系数αi，θi，具体求解方法如下。

设对于一组观测样本资料，其中L个时刻的数据为xt1,xt2,xt3,…,xtl，定义如下向量与矩阵：

则式(6)的矩阵形式为：

(7)

W=(ZTZ)-1ZTXt

(8)

2 岩土工程位移时间序列灰色微分方程的建立

在等时间距情形下，设岩土工程位移时间序列为x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),···,x(0)(n))，对该数据序列做一次累加后得到1—AGO序列，即:

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),···,x(1)(n))

(9)

以1—AGO数据序列为基础，基于灰色系统理论，可建立位移灰色微分方程为:

(10)

其中a、b为灰参数，可由最小二乘估计求得：

(a,b)T=(BTB)-1BTQ

(11)

式中：

求解微分方程，可得：

(12)

(13)

其中k=1,2,...,n-1。

将求得的灰色微分方程(式10)写成如下形式:

(14)

对式(14)运用自忆性原理即可建立灰色自记忆模型。

3 岩土工程位移时序灰色自记忆预测模型的建模步骤与方法

(1) 监测收集岩土工程位移时间序列的详细资料。为便于建模和提高精度，要求时间序列资料有足够建模的长度，以及具有等时间距的特征。

(3) 建立岩土工程位移预测的灰色自记忆模型。运用动力系统自记忆原理，将步骤(2)反演得出的灰色微分方程变成一个回溯阶数为p的自记忆方程。将自记忆方程离散化，利用已有的位移监测资料，采用最小二乘法，求出记忆系数，从而建立位移预测的灰色自记忆模型。建模时，可通过试拟合的方法，确定最佳回溯阶数p。

4 工程实例分析

本文选取了文献[14]中温州乐清市旭阳路工程胜利塘段路基位移沉降数据进行建模与比较分析。温州乐清市旭阳路工程的胜利塘段位于围垦仅数年的滨海淤积滩涂土上，最大路堤高度2.8 m，大部分路堤高度为2.2 m左右，路基土主要为淤泥质粘土和淤泥，属于典型软土地基。该路段的施工时间为2001年10月至2002年6月中旬。加载后某一断面的沉降观测数据如表1所示，表中y(k)为地基累积沉降值，Δy为5 d的地基沉降增量[14]。

表1 实际观测地基沉降数据[14]

日期/d序号y(k)Δy1251353.61.01351456.12.51451558.62.51551661.12.51651765.14.01751868.93.81851972.73.81952075.93.22052179.53.62152282.32.82252385.33.02352489.13.8

取1-19号观测资料作为建模样本，20-24号观测资料为预测样本，运用灰色系统理论求得地基沉降量的灰色G(1,1)模型的灰参数a、b以及一阶微分方程为:

选择拟合误差最小的回溯阶p=1，得到地基沉降预测灰色自记忆方程:

用所建模型对3-19号位移值进行拟合计算，因回溯阶的原因，1号和2号位移值没有拟合值，对21-24号位移值进预测。模型拟合值与实测值对比见图1，位移预测结果见表2。

图1 温州乐清市旭阳路路基沉降实测值与模型计算值对比

序号实测值/mm预测值/mm绝对误差/mm相对误差/%2075.9076.060.160.222179.5078.90-0.60-0.762282.3083.220.921.122385.3084.86-0.44-0.522489.1088.38-0.72-0.80

分析上述温州乐清市旭阳路胜利塘段路基沉降灰色自记忆模型拟合与预测结果可知，参与拟合计算的17个数据中，相对误差中最大值为-15.37%，最小值为0.005%，平均相对误差值为3.25%。其中13个拟合值的相对误差均小于4%，只有两个拟合值的相对误差大于9%。模型预测数据的最大相对误差为1.12%，最小相对误差仅为0.21%，平均相对误差为0.68%。上述路基位移沉降的模拟与预测实例分析结果表明，本文提出的非线性位移时间序列灰色自记忆模型能很好的模拟和预测路基沉降的变形规律与发展趋势，模拟和预测结果都具有较高的数值精度，能够满足路基沉降预测工程实际的需要。

5 结 语

本文基于动力系统自记忆原理和灰色系统理论，建立了岩土工程位移预测灰色自记忆模型。路基位移沉降实例分析研究表明，本文提出的位移预测灰色自记忆模型具有较好的拟合和预测精度，从而为岩土工程非线性位移时间序列分析与预测预报提供了一种新方法。

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