广义度量空间中反交换映射的公共不动点定理

沈云娟，陆 竞，郑慧慧

（杭州师范大学理学院，杭州310036）

1 引言和预备知识

1982年，Sessa［1］给出了弱交换映射对的概念，得到了弱交换映射的一些公共不动点定理.1986年，Jungck［2］提出了相容映射的概念，用以研究压缩型映射的公共不动点问题.此后，人们使用上述概念获得了许多有意义的公共不动点结果［3-6］.1998年，Jungck和Rhoades［7］推广了相容映射的概念，给出了弱相容映射对的概念，借助弱相容映射的概念，人们获得了许多有价值的公共不动点定理［7-9］.

定义1 （i）度量空间中（X，d）中的自映射对｛f，g｝称为是弱交换的［1］，如果∀x∈X，有d（ASx，SAx）≤d（Ax，Sx）.

（ii）度量空间（X，d）上的自映射对｛f，g｝称为是相容的［2］，如果∀｛xn｝⊂X，当limn→∞fxn＝limn→∞gxn＝t，t∈X时，有limn→∞d（fgxn，gfxn）＝0.

（iii）设｛f，g｝是集合X上的自映射对，如果fx＝gx，x∈X，有fgx＝gfx，则称映射对｛f，g｝是弱相容的［7］.

显然，可交换映射是弱交换的，弱交换映射是相容的，但反之不成立.

2002年，吕中学在度量空间中引入了反交换映射的概念，并举例说明这个概念与上面提到的形式是不同的，因此讨论反交换映射的公共不动点问题是有意义的［10］.2007年，胡新启和刘启宽讨论了度量空间中映射在反交换条件下的公共不动点问题，给出了几个新的公共不动点的存在性与唯一性结果［11］.

最近，李胃胜，孙建红和王东明［12］以及史晓棠和谷峰［13］等人将上述度量空间中反交换映射的相应结果推广至锥度量空间中.

2006年，Mustafa和Sims［14］引入了广义度量空间的概念，此后，许多学者深入研究了广义度量空间中的不动点问题，例如，可见文献［15-20］.

定义2［14］设X是一非空集，G：X×X×X→R＋为一函数，且满足以下条件：

（G1）G（x，y，z）＝0⇔x＝y＝z；

（G2）0＜G（x，x，y），∀x，y∈X且x≠y；

（G3）G（x，x，y）≤G（x，y，z），∀x，y，z∈X且z≠y；

（G4）G（x，y，z）＝G（x，z，y）＝G（y，z，x）＝…（三个变量的对称性）和

（G5）G（x，y，z）≤G（x，a，a）＋G（a，y，z），∀x，y，z，a∈X（矩形不等式）.

则称函数G是X上的一个广义度量，或称G是X上的一个G-度量，并称（X，G）为一个广义度量空间或简称为G-度量空间.

此文在广义度量空间的框架下，证明了反交换映射的两个新的公共不动点定理，并给出了结果的一个有效性实例.值得指出的是，在此文的结果中，不需要空间的完备性，也不需要涉及到的映射是连续的.因而，此文的结果本质的改进和发展了许多已知的相关结果.

定义3［10］设X是非空集合，f和g是X上的两个自映射

（i）映射对｛f，g｝称为是反交换的，如果fgx＝gfx⇒fx＝gx，x∈X.

（ii）称t∈X是映射f和g的交换点，如果fgt＝gft.

注1 反交换映射不同于弱相容映射.弱相容映射在重合点可交换，而反交换映射是在交换点重合.

例1 设X＝｛1，2，3，4｝，映射f，g：X→X定义如下：

f1＝1，f2＝4，f3＝2，f4＝3，g1＝1，g2＝4，g3＝3，g4＝2，

显然，映射对｛f，g｝是反交换的，但不是弱相容的.因为f和g在交换点x＝1重合，但是在重合点x＝2不是交换的.

例2 设X＝｛1，2，3，4，5｝，映射f，g：X→X定义如下：

f1＝1，f2＝5，f3＝4，f4＝3，f5＝5，g1＝1，g2＝3，g3＝3，g4＝2，g5＝4

显然，映射对｛f，g｝是弱相容的，但不是反交换的.因为f和g在交换点x＝2不重合，但是在重合点x＝1可交换.

上述例子说明，反交换映射与弱相容映射是相互独立的两个概念.

注2 显然，fx＝gx＝x⇒fgx＝gfx.因此如果f和g没有交换点，则f和g没有公共不动点.

2 主要结果

定理1 设（X，G）是G-度量空间，映射｛f，g｝是X上的一对存在交换点的反交换映射，且对∀x，y，z∈X，有以下不等式成立：

其中函数φ：R＋→R＋满足0＜φ（t）＜t，∀t＞0.则映射f和g有唯一公共不动点.

证明 设u是f和g的交换点，即fgu＝gfu，那么由反交换映射的定义可知，有fu＝gu，从而可推出ffu＝fgu＝gfu＝ggu.下面证明gu是g的不动点.事实上，假设ggu≠gu.由于

max｛G（fu，fgu，fgu），G（fu，ggu，ggu），G（fgu，ggu，ggu）｝＝G（gu，ggu，ggu）＞0.

在（1）中令x＝u，y＝z＝gu，并利用（G2）和φ的性质，得

此为矛盾，故gu＝ggu，即gu是g的一个不动点.又因为fgu＝ggu＝gu，所以gu也是f的不动点，所以gu是f和g的公共不动点.

下面证明公共不动点的唯一性.设u，v是f和g的两个公共不动点，并且u≠v，则有G（u，v，v）＞0，于是使用式（1）得

这是一个矛盾，所以u＝v.

例3 设X＝［0，1］，定义X上的G-度量如下：

G（x，y，z）＝｜x-y｜＋｜y-z｜＋｜z-x｜

则（X，G）是一个G-度量空间.定义函数X上 的映射f，g定义为

显然函数φ满足定理1 中φ的要求.易知映射f和g的交换点的全体是闭区间即对于∀x∈都有fgx＝gfx，同时fx＝gx＝1，故映射f和g是反交换的.

下面分8种情况证明定理1中的条件（1）被满足.

综上，映射f和g满足定理1的压缩条件（1）.于是定理1的所有条件都满足，显然1是f和g的唯一公共不动点.

定理2 设（X，G）是一个G-度量空间，f1，f2，g1，g2，h1，h2：X→X是X上的6个自映射，并且映射对（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）都是反交换映射，且都存在交换点.若对∀x，y，z∈X，有

其中函数φ：R＋→R＋满足0＜φ（t）＜t，∀t＞0.则映射f1，f2，g1，g2，h1和h2有唯一公共不动点.

证明 设u，v，w分别是映射对（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）的交换点，即

由于映射对（f1，f2），（g1，g2）和（h1，h2）都是反交换映射，因此

进而由式（3）（4）可得

下面证明f2u＝g2v＝h2w.事实上，利用式（4）可得

如果f2u≠g2v≠h2w，则在式（2）中取x＝u，y＝v，z＝w，并利用式（6）和函数φ的性质，可得

这是一个矛盾，故必有f2u＝g2v＝h2w.

现在证明f2u是f2的不动点.假设f2f2u≠f2u，使用f2u＝g2v＝h2w和式（5），可得

在式（2）中令x＝f2u，y＝u，z＝w，并使用f2u＝g2v＝h2w得

G（f2f2u，f2u，f2u）＝G（f2f2u，g2v，h2w）≤φ（G（f2f2u，f2u，f2u））＜G（f2f2u，f2u，f2u）.

此为矛盾，故f2f2u＝f2u，即f2u是f2的不动点.类似的，可得g2g2v＝g2v，h2h2w＝h2w，即g2v是g2的不动点，h2w是h2的不动点.再由式（5）可得f1f2v＝f2f2v＝f2v，即f2v也是f1的不动点.类似的，g2u也是g1的不动点，h2w也是h1的不动点.综上，可知t＝f2u＝g2v＝h2w是f1，f2，g1，g2，h1和h2的公共不动点.

现在，证明公共不动点的唯一性.设a，b是f1，f2，g1，g2，h1和h2的两个公共不动点，且a≠b，则G（a，b，b）＞0.使用条件（2）和函数φ的性质可得

这是一个矛盾，于是映射f1，f2，g1，g2，h1和h2的公共不动点唯一.

注3 在定理2中，如果取：（1）f1＝g1＝h1；（2）f2＝g2＝h2；（3）f1＝g1＝h1且f2＝g2＝h2；（4）f1＝g1＝h1＝I（I是恒等映射）.则可得到新的结果，限于篇幅在此略去.

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