3TPT 并联机构的误差补偿方法

柴保明，王远东

(河北工程大学机电工程学院，河北邯郸056038)

在并联机器人的应用和研究不断深入的情况下，人们对于其操作习惯和工作性能的要求逐渐升高。新型工业需要机器人有更高的加工精度，特别是在医学界手术的操作、电子轻工业集成的电路加工、数控机床精密制造等场合的应用。因此，研究如何提高并联机器人的精度在实际应用中有着相当重要的意义。

三平移并联机器人因其具有高刚性、高承载力、高灵活性等众多优点而拥有广大的使用领域和前景，同时也是研究的热点之一。一般通过提高零件表面质量、加工精度和减小铰链间隙等途径提高其位姿精度，但零件加工精度的提高和铰链间隙的减小都不是没有限度的，而且均会随着运动副的磨损而逐渐降低。作者将在误差正解模型的基础上，通过对3TPT 并联机器人机构驱动杆补偿量的控制，来提高机器人输出位姿精度，从理论上提出了一种精度补偿方法。

1 位姿误差正解模型的建立

图1 3TPT 并联机构

3TPT 并联机构如图1 所示，整个机构由动平台、3 个单开链和静平台组成，3 个支链连接动平台和静平台，每个支链包括两端两个虎克铰和一个可伸缩的连杆，通过驱动移动副使连杆伸缩，从而带动动平台作空间三自由度运动。建立其简化模型如图2 所示，绝对坐标系O － XYZ 在静平台上，O 为△AA1A2的外接圆心。

图2 3TPT 并联机构简化模型

把第i 个铰点ai在设动平台BB1B2动坐标系内的坐标设为ci，pi设为在静坐标系O －XYZ 中的坐标，矩阵R 即变换矩阵，是动坐标系指向静坐标系的方向余弦矩阵。P = ［xp，yp，zp］T为动坐标系的原点投影到静坐标系上的绝对坐标。则有:

动平台的位姿可以表示为:

其中:

φ 、θ 、ψ 为动平台坐标架x'、y'、z'轴分别相对静平台坐标架x、y、z 轴的3 个转角。因为3TPT并联机器人的运动表现在空间上为3 个自由度的平移，所以动坐标架{B}到静坐标架{A}的方向余弦矩阵R 为一个单位矩阵。

上面机构模型位姿表达式T 和Pi中，存在两个假定:

(1)驱动杆i 的轴线与上下两虎克铰中心共线;

(2)上平台虎克铰链中心位于平面OPiBi内，下平台虎克铰链中心位于平面OBiPi内。

对于第i 个封闭环O－Bi－Ai－O' －O，存在以下矢量关系方程:

方程(3)中:ui是由Ai指向Bi的单位矢量，liui是包含驱动杆误差、上下平台铰链制造及其安装误差在内的实际长度。

将式(3)进行全微分可得:

对上式两边同时乘以uT

i 得:

在式(5)中，uT

i dliui= dli，又由机构微分关系可得:

所以存在:

将方程作以下代换，由于δP = dP，δci= dci，δai=dai，δli=dli，可得下式:

由公式(8)可以得到:

在式(9)中，［δl1，δl2，δl3］T为活动平台AA1A2的输出位姿误差。

为了求得动平台AA1A2的输入位姿误差矩阵和输出误差矩阵较为明了简单的逻辑关系，这里将安装误差和加工误差在内的误差参数向量提取出来，并用矩阵的形式来表示，而其他部分作为误差矩阵的系数矩阵，也称为误差传递矩阵，从而可以得到3TPT 并联机器人机构位置正解精度的数学模型如下:

令(10)式中:

从而使得3TPT 并联机器人机构位置的正解方程可以简化为:

在式(11)中，δl∈R3×1为支链的杆长误差向量，δm∈R18×1是动平台和静平台的虎克铰链位置误差向量。式(12)中，δP∈R3×1为动平台的输出位姿误差，其系数Ke∈R3×18为包含所有误差参数的误差传递矩阵，δe∈R21×1为包含了加工误差和安装误差在内的21 个误差参数向量。

2 位姿精度补偿建模

在误差正解方程δe = ［δl，δm］T中，δm 为已知的常数，表示动静平台各虎克铰的位置，可以通过控制该机构伸缩杆δl 的伸缩，使输出位姿误差δP 最小。使δP 接近于［0］，误差正解方程式(12)可以表达为

将Ke1、Ke2代入式(14)得:

上式则为建立的3TPT 并联机器人机构的位姿精度的补偿模型。δl 称为3TPT 并联机器人支链伸缩杆的名义补偿量。

式中:δl'为机构控制系统提供的伸缩杆误差的实际补偿量，δl0为支链伸缩杆的原始结构误差。

3 实例解析

某一3TPT 并联机器人结构参数如下:活动平台外接圆直径r1=200 mm，β1=0°、β2=120°、β3=240°为各绞点对应向量与X 轴正向夹角;固定平台外接圆直径r2=300 mm，α1=0°、α2=120°、α3=240°为各绞点对应向量与X 轴正向夹角。位姿参数分别为:P = [x，y，z]T= ［5，0，100］T，φ = θ = ψ =0°。根据分析该3 平移机器人机构的位置精度的数学模型和给定各铰点的结构参数误差及伸缩杆误差(如表1 所示)，可以得到相应的输出位姿误差，见表2。

表1 结构参数误差 mm

表2 输出位姿误差 mm

结构参数误差向量δm 用可以由表1 中的δcix、δciy、δciz、δaix、δaiy、δaiz来构造，采用位姿精度补偿算法(式(15))可求得δl，即伸缩杆的名义补偿量Δli，如表3 所示。

表3 名义补偿量 mm

δlxy为伸缩杆原始结构误差，由式(16)可以得到作为控制参数的伸缩杆实际补偿量Δli，如表4所示。

表4 实际补偿量 mm

为校核该补偿方法是否适用和有效，将δm 及δI构成δe，代入误差正解方程(12)，得到输出位姿误差如表5 所示。

表5 补偿后输出位姿误差 ×10 －4 mm

可以明显发现，通过该方法补偿后的机构中各项误差值均有所减小，证明了所推导的精度补偿公式对该机器人是有效的。

4 结论

(1)通过建立机构结构参数、结构误差和动平台位姿误差的关系方程，求解出了3TPT 并联机构的位姿误差正解模型。

(2)对其精度补偿进行了较系统的研究，从理论上提出了通过对机器人机构驱动杆补偿量的控制来补偿机构位姿精度的方法。

(3)结合典型实例校核，证实了该补偿方法的有效性。该方法为3TPT 机器人的实际精度补偿与控制提供了重要理论，对于优化并联机器人的机构设计有重要意义。

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