球对称dilatonic黑洞的量子统计熵

李怀繁，赵惠华，赵 仁

（山西大同大学理论物理研究所，山西大同037009）

球对称dilatonic黑洞的量子统计熵

李怀繁，赵惠华，赵 仁

（山西大同大学理论物理研究所，山西大同037009）

用量子统计方法，计算了球对称dilatonic黑洞玻色场和费米场的量子统计熵。在计算中，采用了由广义测不准关系修正的态密度公式，利用求解配分函数及系统自由能的统计方法，得到了收敛级数表达的黑洞熵。在计算中，不存在人为截断的引入和小质量近似，计算结果与前人的经典结果一致。

广义测不准关系；黑洞熵；面积定理

在Hawking证明黑洞具有热辐射之前，Bekenstein等人就发现，若将黑洞的表面引力和视界面积类比于温度和熵时，黑洞力学四定律与普通热力学四定律将非常类似。但是Hawking认为这只是形式上的类似，因为黑洞不能被看作普通的热力学系统，不能简单的用普通热力学定律来描述[1-3]。自从Bekenstein和Hawking分别证明黑洞的熵与其视界面积成正比之后[2-4]，黑洞熵的统计起源成为几十年来人们研究的一个热点。

为了对黑洞统计熵给出一个满意的解释，各种探求黑洞统计熵的方法应运而生[5-9]。其中用的最多的是1993年诺贝尔物理学奖获得者G′t Hooft提出的brick-wall模型[9]，用此方法得到了各种时空背景下的黑洞标量场和 Dirac场的统计性质[10-15]，发现黑洞熵就是其外部量子场的熵，从而通过计算外部量子场的状态数，并选取合适的截断因子，能得到与黑洞视界面积成正比的Bekenstein-Hawking （B-H）熵。同时为了避免在视界附近的态密度发散以及计算方便，在计算中不得不引入人为截断因子和采用小质量近似。近年来有学者对brick-wall模型进行了改进，提出了黑洞熵的主要贡献者是黑洞视界外的薄层场的熵[16-18]。用此改进的方法克服了红外截断和人为引入，但是对紫外截断仍无法克服。

本文的安排如下：正文第一部分，将利用广义测不准关系对态密度的修正对球对称dilatonic黑洞的量子统计的玻色场熵进行计算，在计算中所取的积分区间为从黑洞的视界面到无穷远观测者，测得的具有相同固有辐射温度的超曲面。且两曲面的固有厚度具有广义测不准关系的最小长度量级。正文第二部分，我们用同样的方法来计算费米场中的量子统计熵。最后给出总结与结论。在本文中取C=ħ=G=KB=1。

1 球对称dilatonic黑洞

球对称dilatonic黑洞线元：

其中，△（ρ）=（ρ-ρ+）（ρ-ρ-），

其中

分别对应于黑洞的内外视界。黑洞视界的面积为

由文献[30]知，无穷远静止观测者，测得的固有辐射温度为

式中，TH是黑洞视界表面的平衡温度。

有效的物理教学作业设计，是中学物理学科教学中的一个重要内容。作业的布置与设计，旨在巩固和强化学生的物理知识，提升物理综合学习技能，比如学生在课堂上学到的物理公式、物理实验原理，抑或是刚刚学到的物理实验操作技能等。作业的设计要力求针对性强，能够切实激发学生对作业完成的兴趣，而不是枯燥的书面抄写。比如，布置给学生一些集体探究性的复杂小实验，或者是让学生与家长一起合作完成物理小实验作品，然后进行实验作品评比，看哪位学生的物理实验作品更好，对物理理论知识阐述更加明确、科学、严谨，如此，才能保证物理教学的有效性。

对玻色系统，配分函数Z满足

对时空（1），黑洞视界外任意ρ点的二维曲面为

所以在黑洞视界外，任意ρ任意厚度内系统的配分函数可以表示为：

由上式可得玻色场的熵为

在上式中应用了粒子的能量、动量和质量的关系ω2蛐λ2=p2+m2，m是粒子的静止质量。（11）式对ρ的积分在视界附近。而在视界附近-gtt（ρ+）→0，于是（11）式可化为

其中，

时空为球对称时，无穷远静止观者，测得黑洞视界外任意R（R＞r+）上的固有辐射温度是相同的。所以对于时空为球对称黑洞，在计算黑洞视界附近的量子统计熵时，取的积分区间是[r+，R=r++ε]，其中

时，无穷远观者，观测到的固有辐射温度是相同的。r+是黑洞视界位置，满足gtt′（r+）=0。在视界附近gtt′（r）≈（gtt′）′（r+）（r-r+）。由度规（1）知，最小长度为：为一正的小量。换句话说，所取的积分区间是从黑洞的视界到无穷远静止观这，测得黑洞视界外具有相同辐射温度的超曲面。由（4）和（5）式，我们知道在视界外，当R满足

在视界附近，由文献[31]的（32）式可得

忽略高阶项后，（16）式简写为

由此，可以得到

利用留数定理，可得：

则引入的最小长度为：

则玻色熵的级数表达式（19）中的主导项与视界面积成正比且系数为1蛐4，满足B-H熵。对黑洞熵修正值的探讨是当前研究的热点之一，人们利用各种方法来研究对黑洞熵的修正[32-34]，结果与其在量级上是一致的，且级数收敛。

2 费米场的熵

由（11）式，可得费米系统的熵是

对于Fermi系统，配分函数为

由此，我们可得黑洞视界附近费米场对应的熵为

如设在广义测不准关系中引入的最小长度

则费米熵的级数表达式中的主导项与视界面积成正比，满足B-H熵。

3 总结

在本文中，利用广义测不准关系对态密度的修正，计算了黑洞视界附近玻色场与费米场的量子统计熵。在没有人为引入截断和小质量近似的情况下，得到了黑洞统计熵的级数表达式。我们发现，当广义测不准关系中引入的无量纲常数λ满足（20）或（24）式时，黑洞量子统计熵级数表达式中的主导项与视界面积成正比，且满足B-H熵。通过我们的计算同时知道在球对称的dilatonic黑洞中，无量纲常数 λ的值是与黑洞度规的 dilatonic系数有关的。计算结果表明，黑洞B-H熵与视界面积成正比这一定理，是与引力背景没有关系的，是普适的。另外，通过利用态密度修正的量子统计的方法计算球对称dilatonic黑洞B-H熵，克服了求解波动方程的困难，又提出对球对称时空计算黑洞熵的积分区间为：黑洞视界面与无穷远观测者测得视界外附近具有相同固有辐射温度的超曲面。

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〔责任编辑 李海〕

Quantum Statistical Entropy of Spherical Symmetry Dilatonic Black Hole

LIHuai-fan ZHAO Hui-hua，ZHAO Ren
（Institute of Theoretical Physics，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

Using the quantum statisticalmethod，we directly solved the quantum statistical entropy of Bosonic field and Fermionic field on the background of the spherical symmetry dilatonic black hole.In the calculation，we adopted the new equation of state density motivated by the generalized uncertainty relation，solved the partition function and the free energy of system with statistical method，we obtain that the entropy of black hole is convergent.In our calculation the artificial cutoff and the smallmass approximation are removed，our results qualitatively consistentwith the previous results.

generalized uncertainty relation；black hole entropy；area theorem

O421.1

A

1674－0874（2013）06－0015－04

2013-08-15

国家自然科学基金[11075098，11175109]；国家自然科学基金青年基金[11205097]；山西省青年科技研究基金[2012021003-4]；山西大同大学博士科研启动经费[2011-B-04]

李怀繁（1980-），男，山西洪洞人，博士，讲师，研究方向：引力理论，规范/引力对偶应用。