区间值度量空间中的不动点定理

陈桂秀，李生刚，赵 虎

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062

2.青海师范大学 数学系，西宁 810008

区间值度量空间中的不动点定理

陈桂秀1，2，李生刚1，赵 虎1

CHEN Guixiu1，2,LI Shenggang1,ZHAO Hu1

1.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062

2.青海师范大学 数学系，西宁 810008

研究了一种特殊的模糊度量ρ，称为区间值度量。区间数的运算（如加减乘除运算）在相关文献中已有定义，对区间数的减法运算进行新的定义，得到相应的不等式性质，接着给出了区间值度量的定义；介绍了区间值度量空间中相关的定义，如收敛序列、Cauchy序列以及完备性等；讨论了区间值度量空间中的不动点定理和公共不动点定理。

区间值度量空间；不动点定理；公共不动点定理；区间数

在不确定性数学方法研究中，用区间数来刻画事物和现象的本质和特征的方法被学者称为区间数理论。利用区间数理论来研究不确定性问题有着重要的理论意义和实际应用背景。国内对区间数的研究，主要以胡宝清、邓聚龙、徐泽水教授，以及张兴芳教授为代表，均取得了一些很好的结果。国外早在1931年，Young就开始了区间数的研究，以Moore[1-3]为代表的众多学者继续研究，均取得了满意的效果。区间数理论的研究主要表现在区间数的排序关系和基于区间数的决策模型方面。文中主要讨论了区间值度量空间中的不动点定理和公共不动点定理。

1 预备知识

定义1.1[4-7]称 R2中满足a-≤a+的点 a-，a+为区间数，区间数的全体记为I(R)，对任意两个区间数 a-，a+和b-，b+以及任意正实数r规定：

当a-＞b-且a+＞b+时记 a-，a+≻ b-，b+（或 b-，b+≺a-，a+)；当a-=a+时，记 a-，a+=a；a-，a+≤ b-，b+当且仅当a-≤b-且a+≤b+。

注1.1对任意三个区间数 a-，a+，b-，b+，c-，c+。若 a-，a+≤ b-，b+，则：

定义1.2设 X是集合，若 ρ:X×X→I(R+)（其中R+=[0，+∞)）是一个映射。如果 ρ-=p1°ρ:X×X→[0，+∞)和ρ+=p2°ρ:X×X→[0，+∞)都是X上的度量，则称 ρ为X上的一个区间值度量，且称(X，ρ)为一个区间值度量空间，其中 p1:R2→R和 p2:R2→R分别是 ρ在第一坐标和第二坐标上的投射。

注1.2映射 ρ:X×X→I(R+)是X上的区间值度量，当且仅当ρ满足下列条件：

（1）对于任意x，y∈X，ρ(x，y)=0当且仅当x=y；

（2）对于任意x，y∈X，ρ(x，y)=ρ(y，x)；

（3）对于任意 x，y，z∈X，ρ(x，y)≤ρ(x，z)⊕ρ(z，y)（这里≤是R2上的点式序）。

2 不动点定理

定义2.1设(X，ρ)为一个区间值度量空间，{xn}是 X中的序列。

（3）如果(X，ρ)中的每个Cauchy序列均收敛，则称 X是完备区间值度量空间。

引理2.1区间值度量空间(X，ρ)是完备的，当且仅当度量空间(X，ρ+)是完备的。

引理2.2设(X，ρ)是一个区间值度量空间，{xn}是X中的序列。如果对任意正整数n满足ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)，其中k∈[0，1)，则{xn}是X中的一个Cauchy序列。

证明 根据条件有 ρ(xn+1，xn)≤kρ(xn，xn-1)≤k2ρ(xn-1，xn-2)≤…≤knρ(x1，x0)。对任意 ε-，ε+≻0，存在正整数 s使得对任意正整数m，n≥s：

根据定义2.1知{xn}是X中的一个Cauchy序列。

注2.1定理2.1和定理3.1中的不动点、公共不动点及相关概念参考文献[8-13]。

定理2.1设(X，ρ)是一个完备区间值度量空间，T:X→X 是X中的映射。则T在X中存在唯一不动点，如果T满足：

从而ρ(Tx*，x*)=0，这表明Tx*=x*，即x*是T的一个不动点。

假设y*是T的另一个不动点，则：由k3+k4+k5≠1得ρ(x*，y*)=0，则x*=y*，因此，T在X中存在唯一不动点。

情形2s＞1。根据情形1知Ts在X中存在唯一不动点x*。

由Ts(Tx*)=T(Tsx*)=Tx*知Tx*也是Ts的不动点，于是Tx*=x*，即x*是T的不动点。这证明了T的不动点也是Ts的不动点，从而T在 X中存在唯一不动点。

本定理的证明基于引理2.2，且类似于度量空间中压缩映射满足（43）的情形（见文献[14]），并参考了文献[15]。

3 公共不动点定理

定理3.1设(X，ρ)是一个完备区间值度量空间，T，S: X→X是X中的映射。则T和S在X中存在唯一公共不动点，如果T和S满足：

其中 x，y∈X， ki≥0(i=1，3，5)，2k1+2k3+k5＜1且 s和 t是两个固定的正整数。

证明 取 x0∈X，令 x2n+1=Tx2n，x2n=Sx2n-1。考虑如下两种情形。

情形1s=t=1。对任意正整数n：综合上述不等式，对于任意正整数n有 ρ(xn+1，xn)≤

从而 ρ(Tx*，x*)=0，这表明Tx*=x*，即 x*是T的一个不动点。进一步：

由k1+k3≠1得Sx*=x*，这表明 x*是S的不动点，从而 x*是T和S的公共不动点。

假设y*是T和S的另一个公共不动点，则：

由2k3+k5≠1得 ρ(x*，y*)=0，从而x*=y*，这表明T和S具有唯一公共不动点。

情形2s≠1或者t≠1。根据情形1知Ts和St具有唯一公共不动点x*。下面要证x*也是T和S的唯一公共不动点。

由Tx*=x*得Ts(Tx*)=Ts+1x*=T(Tsx*)=Tx*，则Tx*是Ts的一个不动点，从而：

由k1+k3≠1得 ρ(StTx*，Tx*)=0，即 StTx*=Tx*，这表明Tx*是St的一个不动点，于是Tx*是Ts和St的公共不动点。由于St具有唯一不动点，所以Tx*=x*。类似有Sx*=x*，从而Ts和St的公共不动点也是T和S的公共不动点。

假设y*是T和S的另一个公共不动点，则根据T2y*= T(Ty*)=Ty*=y*，…，Tsy*=y*和 S2y*=S(Sy*)=Sy*=y*，…，Sty*=y*，证明了 y*也是Ts和St的公共不动点，从而T、S 和Ts、St在X中具有相同的公共不动点集。

本定理的证明基于引理2.2，且类似于度量空间中压缩映射满足（169）的情形（见文献[14]），并参考了文献[15]。

4 结束语

关于区间数理论的研究与应用得到了广泛关注，本文研究了区间值度量空间中一个自映射的不动点定理和两个自映射的公共不动点定理。

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1.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062,China

2.Department of Mathematics,Qinghai Normal University,Xining 810008,China

This paper studies a special kind of fuzzy metricρ,called interval-valued metric.The operations of interval number （such as addition subtraction multiplication divition）are given in related references,the subtraction operation of interval number is redefined,and the corresponding inequality properties are obtained.Then the definition of interval-valued metric is given. Some related conception in interval-valued metric space are introduced,such as convergent sequence,Cauchy sequence and completeness etc,and the fixed point theorem and common fixed point theorem in interval-valued metric space are presented.

interval-valued metric spaces;fixed point theorem;common fixed point theorem;interval number

A

O189

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0057

CHEN Guixiu,LI Shenggang,ZHAO Hu.Fixed point theorems in interval-valued metric spaces.Computer Engineering and Applications,2013,49（7）：20-23.

国家自然科学基金（No.11071151）；陕西省自然科学基金（No.2010JM1005）。

陈桂秀（1972—），女，博士生，主要从事格上拓扑学与拟阵理论研究；李生刚（1959—），男，教授，博导，主要从事格上拓扑学与拟阵理论研究；赵虎（1981—），男，博士生，主要从事格上拓扑学与模糊代数的研究。E-mail：cgx0510@163.com

2012-10-09

2012-12-10

1002-8331（2013）07-0020-04

CNKI出版日期：2012-12-26 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20121226.1416.007.html