空域相关MIMO信道容量的研究

宋萍，唐加山

1.南京邮电大学通信与信息工程学院，南京 210003

2.南京邮电大学应用数学研究中心，南京 210046

空域相关MIMO信道容量的研究

宋萍1，唐加山2

1.南京邮电大学通信与信息工程学院，南京 210003

2.南京邮电大学应用数学研究中心，南京 210046

1 引言

MIMO技术是实现充分利用空间资源以提高频谱效率的有效途径之一。信道容量是衡量MIMO通信系统性能的重要指标之一，由于实际信道是时变的，且具有一定的随机性，因此在MIMO系统中通常研究两种统计意义上的信道容量：信道为快衰落时讨论中断容量，为慢衰落时讨论各态历经容量，因而大量研究MIMO系统性能的文献主要针对这两个参数进行讨论[1-2]。在实际无线通信环境中，由于MIMO信道中每个通信子路的传输系数可以近似看成是一个服从某种分布的随机变量，所以整个MIMO信道环境可以看成是一个由多个随机变量组成的信道矩阵，由于各态历经容量的计算非常复杂[3]，因此大量已有文献主要针对非相关瑞利衰落信道进行讨论，其信道容量值是通过蒙特卡洛方法多次试验得到的[4]，并且在实际无线通信环境中，由于天线间的距离和天线周围散射体个数有限，各子信道间的衰落存在一定的相关性[5]。文献[3]给出了MIMO系统信道容量计算公式，公式中含有超几何函数并需要进行多重积分，直接求出任意维数的MIMO系统的各态历经容量非常困难，且文献[3]中的接收端相关矩阵由确定的数值矩阵表示，并未考虑天线间距、来波角度及角度扩展等与信道容量之间的关系。基于上述原因，本文主要讨论在空域相关条件下，平坦性慢衰落信道的各态历经容量问题，利用Wishart矩阵特征值的联合概率密度函数，显式地给出空域相关信道下各态历经容量的具体可计算公式，并根据Matlab数值计算结果进一步讨论信道容量与天线间距、来波角度及角度扩展等因素之间的关系。

2 Wishart矩阵理论

在一个矩阵中，如果至少有一个元素为随机变量，那么该矩阵就被称为随机矩阵。设A是一个n×m维的复高斯随机矩阵，记做A～CN(0，InΣ)，其中为Kronecher积，表示共轭转置。由W=AHA可以得到Wishart矩阵W～CWm(n，Σ)，若n≥m，则W的联合概率密度函数可以由矩阵的m个有序特征值λ1≥λ2≥…≥λm表示为[3]：

复多变量伽马函数，det()·表示求其行列式。

3 相关信道模型

考虑一个nr×nt维MIMO系统，接收天线数为nr，发射天线数为nt。假设传输环境为平坦性衰落信道，则接收端信号可以表示为y=Hx+n，其中x为nt×1维发射信号向量，假设发射信号向量x为零均值随机向量，则协方差

假设在上述MIMO系统中只考虑接收端的空域相关性，此相关性与天线间距、来波角和角度扩展这三个参数有关。若接收端天线采用等距线性阵列（ULA），则天线阵列模型如图1所示。

图1 ULA天线阵列模型

设相邻天线之间的距离为d（以载波波长为基准进行归一化），信号平均来波角为θ，角度扩展为2Δ，角谱分布为ρ(θi)，若记Σ=(rm，n)，则第m根天线和第n根天线所接收信号之间的相关系数rm，n可以表示为[7]：

由式（6）可以看出角谱分布对空域相关性的影响很大。在已有的文献中，Lee假定来波角谱为余弦分布[8]，Salz假定来波角谱为均匀分布[9]，Aszetly认为高斯分布更接近GSM系统角谱分布的测试结果[10]，Pedersen指出拉式分布更符合DSC1800系统的角谱分布[11]。由于均匀分布的简单及一般性，本文假设来波角谱分布为均匀分布，即ρ(θi)= 1/(2Δ)，由此可以进一步讨论信道容量与d、θ和Δ之间的关系。

4 数值计算

本章利用Matlab对前面描述的空域相关信道的信道容量进行数值计算，在计算过程中假设信道为平坦性瑞利衰落信道，信道矩阵H为nr×nt维的复高斯随机矩阵，各元素均为零均值循环对称复高斯随机变量。

图2给出了当θ=0°，nt=4，nr=4，ρ=20 dB，Δ分别为10°，25°，40°，75°，90°时，天线间的距离d和各态历经容量之间的关系。

图2 不同Δ条件下天线间距与信道容量的关系图

由图2可以看出：当天线间的距离d相等时，角度扩展Δ越大，各态历经容量就越大；在(0°，180°)范围内，随着角度扩展不断增大，达到极限容量所需要的天线之间的距离逐渐减小。

图3给出了当Δ=10°，nt=4，nr=4，ρ=20 dB，θ分别为0°，15°，30°，45°，60°，75°时，天线间的距离d和各态历经容量之间的关系。

图3 不同θ条件下天线间距与信道容量的关系图

由图3可以看出：角度扩展一定，当天线间距d相同时，来波角θ越小，各态历经容量值就越大，在θ从0°（垂直于天线阵列方向）到75°（平行于天线阵列方向）的变化过程中，各态历经容量值逐渐减小。来波角越小，达到极限容量值所需要的天线之间的距离就越小。

下面将本文的直接计算方法与蒙特卡洛方法[12]进行比较，在Kronecher模型中，若考虑MIMO系统的接收端具有空域相关性，则信道矩阵H可以表示为：

图4给出了当θ=0°，nt=2，nr=4，ρ=20 dB，Δ为90°时，利用随机Wishart矩阵特征值的联合概率密度函数计算得出的各态历经容量曲线与利用蒙特卡洛方法进行1 000次试验所得出的各态历经容量曲线的对比图。

图4 本文方法与蒙特卡洛方法性能比较

从图4可以明显看出：利用Wishart矩阵特征值的联合概率密度函数计算所得出的极限值与利用蒙特卡洛方法进行1 000次试验所得到的容量值非常接近。很显然，当接收端和发送端天线数目不断增大时，信道矩阵的维数逐渐增大，蒙特卡洛方法的运算时间迅速减慢，而利用此信道容量公式可以在保证与蒙特卡洛方法具有近似计算精度的条件下快速计算出信道容量值。

5 结束语

近年来，随机矩阵理论在无线通信、信号处理等领域中的应用越来越受到人们的广泛关注。本文利用Wishart矩阵的联合特征值概率密度函数给出了在空域相关条件下平坦性瑞利衰落MIMO信道的各态历经容量的可计算公式，最后利用Matlab进行数值计算，结果表明：与蒙特卡洛方法相比，本文给出的计算公式可以在几乎不降低计算精度的条件下提高计算速度，数值计算结果还进一步表明了信道容量与影响空域相关性的天线间距、来波角度和角度扩展这三个参数之间的关系。

传统的香农公式只能用于求解SISO系统的最大信道容量，而本文给出的各态历经容量计算公式可以用来求解MIMO系统最大信道容量的理论解，在实际进行MIMO系统的规划和配置时，各态历经容量值的大小以及与天线各参数之间的关系可以为其提供理论依据，分析系统的信道容量有利于合理设计信道参数，在保证通信质量的前提下最大限度地节约资源。分析系统信道容量通常利用蒙特卡洛方法，但由于蒙特卡洛方法要得到比较精确的值需要进行大量试验，所以给出各态历经容量的直接计算公式，快速得出天线间距等因素与系统各态历经容量之间的关系具有重要的理论意义和现实意义。本文的结果可以应用于城市中心区域的GSM系统等[13]。在无线通信中，城市中心地带等建筑物密集的区域由于发射机和接收机周围散射物体较多，使得收发端之间没有直射路径，因此信道可以由瑞利衰落模型来描述，GSM系统中多径信号之间的相对时延小于传输信号周期，因此信道对信号的衰落可以看成是平坦性的。但本文只讨论了角谱分布为均匀分布的情况，在以后的研究中将进一步分析角谱分布为高斯分布、拉普拉斯分布和余弦分布等情况。

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[13]金鑫.无线信道传播模型的研究与实现[D].北京：北京邮电大学，2010.

SONG Ping1,ΤANG Jiashan2

1.College of Communications and Information Engineering,Nanjing University of Posts and Τelecommunications,Nanjing 210003,China
2.Research Center of Applied Mathematics,Nanjing University of Posts and Τelecommunications,Nanjing 210046,China

Τhe capacity of MIMO communication system under the spatial correlation is investigated.A calculable capacity formula about Flat-Fading Raleigh channel is derived based on the joint eigenvalue probability density function of Wishart matrix. Τhe result obtained by Matlab numeric calculation shows that,compared with the past Monte Carlo method,the method in this paper improves the speed of calculation.Τhe interrelation between the channel capacity and the three parameters which are antenna separation,incoming wave angle and angular spread is also discussed based on the results of numeric calculation.

Multiple-Input Multiple-Output（MIMO）;spatial correlation;channel capacity;Wishart matrix

研究了在空域相关条件下MIMO通信系统的信道容量问题，利用Wishart矩阵的联合特征值概率密度函数显式给出了平坦性瑞利衰落信道的各态历经容量的可计算公式，利用Matlab所进行的数值计算表明：与已有的蒙特卡洛方法相比，公式提高了计算速度。数值计算结果还进一步表明了影响空间相关性的天线间距、来波角度和角度扩展这三个参数与信道容量之间的关系。

多输入多输出（MIMO）；空域相关；信道容量；Wishart矩阵

A

ΤN911

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0373

SONG Ping,TANG Jiashan.Study on capacity of spatially correlated MIMO communication system.Computer Engineering and Applications,2013,49（21）：195-198.

宋萍（1987—），女，硕士研究生，研究方向为现代通信中的智能信号处理技术；唐加山（1968—），男，博士，教授，硕士研究生导师，研究方向为概率论、随机过程理论及其应用、随机服务系统理论、现代通信中的智能信号处理技术、信道辨识与均衡等。E-mail：pingping0219@126.com

2012-01-30

2012-04-09

1002-8331（2013）21-0195-04

CNKI出版日期：2012-06-01http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20120601.1456.006.html