Sasaki联络的高维推广

包开花

(内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽 028043)

在1979年，Sasaki［1］提出了二维真黎曼流形M2上的一些局部联络的计算公式.这些公式在非线性可积偏微分方程的理论中有重要地位.这个新的联络形式有一个重要的性质是，他满足无曲率的情况当且仅当其截面曲率等于－1.在文献［2－4］中，基于一个有一些独立变量的函数u，讨论了不同的一形式矩阵.这样，此联络形式的无曲率情况等价于拥有非常多守恒定律和reach对称群的著名非线性偏微分方程之一.在文献［1］中，Shchepetilov对Sasaki联络给出了明确的几何意义，并将此联络推广到高维情况.在第一部分，简单介绍了Shchepetilov定义的Sasaki联络▽～X和类似于Sasaki联络的联络▽aX，并计算了联络▽aX的数量曲率，截面曲率和测地线.第二部分，将两个联络分别推广到高维情况，并计算了一些相应的几何结果.希望本文定义的联络在经典的卷积空间(如Schwarzschild空间，Robertson－walker空间)中起到重要的作用.

1 Sasaki联络的介绍

卷积空间M×R上的切丛π*(TM⊕E)上的Sasaki联络.记gw为卷积空间M×R的度量.令▽w，L表示M×R 上的 Levi－civita 联络.将 X，ξ的提升仍记为 X，ξ.定义［6－8］:

令gw=π*gM⊕b2(m，x)dx2，b为T(M×R)上的非零光滑函数.

下面计算与联络▽a对应的数量曲率Sa.

命题1

进一步有:

引理2令b=b(x)，那么Sa是个常数当且仅当SM和b也是常数.

引理4令b=b(x)，那么▽a有常截面曲率Ka当且仅当b是常数且KM=1.

下面考虑(M×R，gM×R=gM⊕ b2(m，x)dx2，▽a)中的测地线.一条曲线 γ(α，β)在(M×R，gM×R)中关于▽a的测地线.设X是α在M中的切向量场，fe是β在R中的切向量场.X，fe同时表示他们在M×R中的拉升，则X+fe表示γ的切向量场.

因此可得:

引理5γ(α，β)是▽a的测地线当且仅当下面式子成立，

2 两种联络的高维推广

首先介绍Sasaki联络的高维推广.令E1=M×Rk且取e1，e2，…，ek为Rk的正交基.定义F1上的联络:

定理1F上存在唯一的联络，对任意的X，Y，Z∈Γ(M，TM)和∈Γ(E)满足下列条件:

命题6联络▽～是平坦的当且仅当M是截面曲率为k的常曲率空间.

证明类似于文献［5］的计算，根据曲率张量的计算公式:

［1］Shchepetilov A.The geometric sense of the Sasaki connection［J］.Phys A，2003，36(13):3893－3898.

［2］Crampin M.Solitons and SL(2，R)［J］.Phys Lett A，1978，66:170－172.

［3］Ding Q.The NLS－equation and it's SL(2，R)structure［J］.Phys A:Math Gen，2000，33:325－329.

［4］Inoguchi J.Darboux transformations on timelike constant mean Curvature surface［J］.Geom phy，1999，32:57－78.

［5］Shchepetilov A.The geometric sense of the Sasaki connection［J］.Phys A，2003，36(13):3893－3898.

［6］包开花.Sasaki联络的推广［J］.湖北民族学院学报:自然科学版，2012，30(3):256－260.

［7］Sasaki S.On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure［J］.Tohoku Math J，1960，24:59－76.

［8］Marvan M.Scalar second－order evolution equations possessing an irreducible sl2－valued zero－curvature representation［J］.J Phys A:Math Gen，2002，35:9431－9441.