向量交换矩阵一种新的定义及应用

张华民,殷红彩

(1.蚌埠学院数理系,安徽蚌埠 233030;2.江南大学控制科学与工程研究中心,江苏无锡 214122; 3.安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠 233000)

向量交换矩阵一种新的定义及应用

张华民1,2,殷红彩3

(1.蚌埠学院数理系,安徽蚌埠 233030;2.江南大学控制科学与工程研究中心,江苏无锡 214122; 3.安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠 233000)

利用单位矩阵和基本向量给出了向量交换矩阵的一种较以往表述简单的新的定义.基于新的定义证明了向量交换矩阵的性质.给出了新定义与原有定义的等价性的证明.最后给出了矩阵克罗内克积奇异值的一个新的结论.

克罗内克积;向量交换矩阵;向量化算子;奇异值

1 引言

克罗内克积(Kronecker product)是用数学家Leopold Kronecker(1823-1891)的名子命名的一个概念.事实上它应该被称为Zehfuss product,因为是Johann Georg Zehfuss在1858年发表的一篇论文中给出了关于n阶方阵的公式[12]:

克罗内克积被广泛应用在系统理论[36],矩阵微分计算[79],线性矩阵方程[1015],系统辨识[16-19],及其它领域[20-25].

本文在总结已有表述的基础上,提出了在克罗内克积的应用中起重要作用的向量交换矩阵(vec-permutation matrix)一种新的定义,并用新的定义证明了和克罗内克积,向量交换矩阵及向量化算子(vector operator)相关的结论,给出了新定义和原定义间的等价性证明,最后建立了关于矩阵克罗内克积奇异值的一个新结论.

2 克罗内克积的定义与性质

设F是一个数域,例如是实数域R或复数域C.矩阵A=[aij]∈Fm×n和B∈Fp×q的克罗内克积(直积或张量积),记为A⊗B,定义如下

由定义可得两个对角矩阵(上三角矩阵或下三角矩阵)的克罗内克积仍是对角矩阵(上三角矩阵或下三角矩阵).设AT和AH分别表示矩阵A的转置和共轭转置,Im是m阶的单位矩阵.由定义可直接验证下面的克罗内克积的一些性质:

其中性质1表明列向量α和行向量βT的矩阵乘积等价于二者的克罗内克积且α和βT是可交换的,这一性质在后面的证明中经常用到,性质4表明多个矩阵的克罗内克积适用结合律.

对于克罗内克积和矩阵乘法,下面称为混合积(mixed products)的定理是许多有用结论的基础[7,20,26].

引理1若矩阵A,B,C,D维数的选取能让下面的运算都有意义,则有

3 向量交换矩阵新定义及性质

向量交换矩阵在矩阵微分计算和解线性矩阵方程的理论中有重要的应用.在以往不同的文献中向量交换矩阵常被被表述为不同的形式[7,20,2526],较为常用的表述如下:

定义1约定基本向量ein表示第i个位置上是1其他位置全为0的n维列向量,即有

向量交换矩阵定义如下:

下面给出它的一种新的定义.

定义2基本向量ein的意义如定义1,则向量交换矩阵定义如下:

即向量交换矩阵Pmn是一个mn×mn方阵,以往定义多是采用双重求和是一种立体的形式,而本文给出新的定义是一个平面的形式,避开了双重求和符号的使用,显然较原有定义简单.基于此定义,有如下的结论:

定理1根据向量交换矩阵Pmn的定义2,下面的两个结论成立

推证过程中等号由上到下,依次用到了克罗内克积的性质3,性质2,性质1,性质2.结论1证毕.下面验证结论2,根据克罗内克积的定义及混合积定理可得,

下面给出向量化算子(vector operator)的定义.如果A=[a1,a2,···,an]∈Fm×n,其中aj∈Fm,j=1,2,···,n,将矩阵A从左到右的n个列向量按从上到下的排成堆栈,形成一个mn维的列向量,记为col[A],定义如下:

对于任意的矩阵A∈Fm×n,容易验证下面的结论col[A]=Pmncol[AT].这也是Pmn命名为向量交换矩阵的原因.

定理2对于矩阵A∈Fm×n,B∈Fp×q,由向量交换矩阵如定义2,可得如下结论:

其中Bi∈F1×q,i=1,2,···,p,j=1,2,···,q表示矩阵B的第i行.根据Pmn定义,性质2和混合积定理,有

4 两种定义的等价性

下面证明这两种定义等价性,即有结论:

定理3相关符号约定如上,则有

即这两种定义是等价的.上面的证明中等式从上至下依次用到性质3,混合积定理,性质1和性质4及克罗内克积的定义.

5 矩阵克罗内克积奇异值的一个性质

面给出酉矩阵的定义.如果方阵A满足AHA=AAH=I,则称其是酉矩阵.直接计算可验证下面的结论.如果A和B是酉矩阵(正交矩阵),则A⊗B也是酉矩阵(正交矩阵).约定σ[B]:={σ1,σ2,···,σn}是矩阵B∈Fm×n奇异值集合.由奇异值的定义和定理2,对矩阵A,B,有下面的结论成立.

定理4若矩阵A∈Cm×n和B∈Cp×q的奇异值集合是

则有σ[A⊗B]={σiρj|i=1,2,···,n,j=1,2,···,q}=σ[B⊗A].

5 结束语

本文讨论了与克罗内克积相关的向量交换矩阵,给出了它的一个新的定义,并基于新定义证明了向量交换矩阵的一些性质,最后给出了矩阵克罗内克积奇异值的一个新的结论.值得指出的是矩阵方程的求解一直是数值线性代数的一个核心问题,求解线性矩阵方程的新方法也不断出现[2730],但是如何利用矩阵的克罗内克积本身的丰富结构,来求解相关的线性矩阵方程,例如求解西尔维斯特矩阵方程(Sylvester matrix equation),仍然是一个需要研究的课题[3033].

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A new definition of vec-permutation matrix and its applications

Zhang Huamin1,2,Yin Hongcai3

(1.Department of Mathematics and Physics,Bengbu College,Bengbu 233030,China;
2.Control Science and Engineering Research Center,Jiangnan University,Wuxi214122,China;
3.School of Management Science and Engineering,Anhui University of Finance&Economics, Bengbu233000,China)

By using the Kronecker product of the identity matrix and the fundamental vector,a new definition of vec-permutation matrix is presented,which is simpler than the original one.Based on the new definition,the properties of the vec-permutation matrix are discussed.The proof of the equivalence between the new definition and the original one is given.At last,a new result on the singular values of Kroneker products of several matrices is established.

Kronecker product,vec-permutation matrix,vector operator,singular values

O151.2

A

1008-5513(2013)03-0246-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.03.005

2012-12-01.

国家自然科学基金(60973043);111引智计划(B12018);蚌埠学院自然科学基金(2011ZR17);安徽高等学校省级自然科学研究项目(KJ2013A183).

张华民(1972-),博士生,讲师,研究方向：矩阵方程理论.

2010 MSC:15A69,16A18