(2+1)维KP方程的三类精确解

夏鸿鸣

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水 741001)

(2+1)维KP方程的三类精确解

夏鸿鸣

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水 741001)

研究了(2+1)维KP方程的孤子解问题.应用Riccati方程映射法,得到了(2+1)维KP方程的新的显式精确解的结构.根据得到的精确解结构,构造出了该方程的三类精确解.

Riccati方程映射法;KP方程;精确解

1 引言

孤子是非线性领域的一个十分重要的现象.近年来,许多学者对此进行了广泛的研究,提出了相干孤子结构注入线孤子、环孤子、方孤子、明孤子、暗孤子等[1],而且,人们还利用反散射方法[2]、B¨acklund变换[3]、双线性方法[4]、齐次平衡法[5]、Riccati方程映射法[6]和分离变量法[1]等几十种方法求出了许多非线性数理方程的孤子解的精确显式表达式,为研究孤子的各种性质提供了极大的方便.在这些方法中,Riccati方程映射法是近年来发展起来的一种直接假设方法,这种方法简便易行,能够求出许多方程的各种形式的精确显式孤子解.

KP方程在(2+1)维方程中占有非常重要的地位,1970年由Kadomtsev和Petviashvili提出,用以描述弱色散和非线性介质中的扰动[7].KP方程具有N孤子解[8]、无穷多对称[9]和守恒律、Painlev´e性质和B¨acklund变换[10]等.本文运用Riccati方程映射法,研究(2+1)维KP方程的精确解的结构.

2 Riccati方程映射法

对于一般的非线性数理方程

就可以确定所求方程的解.

3 (2+1)维KP方程的孤子解

(∫ )-1

4 讨论

观察图1可知,u1反映了钟状孤立波和扭状孤立波的相互作用.同理可得,(13)、(14)、(15)式表示三类类周期波解,(16)式表示一类分离变量解.

图1 由(17)式得到的两个孤子弹性作用的时间演化图

5 小结

本文使用Riccati方程映射法研究(2+1)维KP方程的解的结构,得到了三类解的精确显式表达形式,主要包括了一类孤立波解、三类类周期波解和一类分离变量解,这些结果与以往的文献不同.由于表达式中函数的任意性,使(2+1)维KP方程的精确解特别是孤子解的形式更加丰富.当选取不同的函数时,还有可能构建多种局域结构,如分形结构、混沌结构等,从而使孤子理论的研究引向深入.这些问题将进一步研究.

[1]楼森岳,唐晓艳.非线性数学物理方法[M].北京:科学出版社,2006.

[2]Ablowitz M J.Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Incerse Scattering[M].New York:Cambridge University Press,1991.

[3]谷超豪.孤立子理论与应用[M].杭州:浙江科技出版社,1990.

[4]Hirota R.Solitons[M].Berlin:Springer Press,1980.

[5]王明亮,李志斌.齐次平衡原则及其应用[J].兰州大学学报,1999,35(3):8-15.

[6]Zheng Chunlong.Comments on“The generalizing Riccati equation mapping method in nonlinear evolution equation:application to(2+1)-dimensional Boiti-Leon-Pempinelle equation”[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,39:1493-1495.

[7]Kadomtsev B B,Petviashvili V I.On the stability of solitary waves in weakly dispersive media[J].Sov.Phys. Dokl.,1970,15:539-541.

[8]Satsuma J.N-soliton solution of the two-dimensional KdV equation[J].J.Phys.Soc.Japan,1976,40:286-290.

[9]Chen H H,Lee Y C.On a new hierarchy of symmetries for the KP equation[J].Physica D,1983,110:439-445.

[10]Weiss J.The painleve property for partial diferential equationsⅡ:Backlund transformation,Lax pairs, and the Schwarzian derivative[J].J.Math.Phys.,1983,24:1405-1413.

Three types exact solution of(2+1)-dimensional KP equation

Xia Hongming

(College of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui741001,China)

In this paper,the soliton solution of(2+1)-dimensional KP equation is investigated,where a new structure of the explicit exact solutions for this equation is obtained by applying Riccati equation mapping method and variable separation method.As a result,three types soliton solutions of the equation are established.

Riccati equation mapping method,KP equation,exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2013)06-0577-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.06.005

2013-11-10.

夏鸿鸣(1968-),硕士,副教授,研究方向：非线性数理方程.

2010 MSC:35Q53