与“矿井”有关的高考物理选择题的分析与拓展

刘振华

(河北丰润车轴山中学 河北 唐山 064001)

2012高考新课标理综试卷的21题及大纲版理综试卷的25题，从知识点上看考查了万有引力定律，同时，还考查了等效的思想及一定的数学计算能力，与平常的万有引力定律及天体运动的试题考查角度大不一样，有点难度.

下面就这两道试题，进行一下分析与拓展.

1 试题分析

【例1】(2012年高考全国卷第21题)假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

图1

乍一看，虽然可以看出是万有引力的题目，但从何处下手，使众多考生棘手.静下心来，可以发现有一个条件，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.如果能够建立起这样的模型即挖去深度为d的矿井之后，变成一个半径为R-d的球体和一个厚度为d的球壳,如图1所示.那么,问题就迎刃而解了.

解析：当质量为m物体在地球表面时，物体所受万有引力近似等于其重力，即

推出

设地球密度为ρ，地球的体积

将

代入

得

挖去的矿井质量对于整个地球来说，很小很小，可忽略不计，所以，可以把球体R-d之外的部分仍然当做一个球壳.由“已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”可知，这部分对m的作用力为零.综上所述，挖了矿井之后的地球对m的作用，可以等效成半径为R-d球体对m的作用力.

同理可得

所以，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

答案为选项A.

【例2】(2012年高考全国卷第25题)一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R.假定地球的密度均匀.已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d.

解析：在地面处，单摆所受万有引力近似等于其重力，即

同样可得

可得

同理，矿井内单摆的周期

而单摆在地面处的摆动周期与矿井底部摆动周期之比

解得

d=R(1-k2)

在近几年的高考物理试卷中，由于受中学物理和数学知识的局限，将一些超出学生能力范围的结论，直接作为已知条件告诉学生.学生只有充分挖掘该条件的深层含义，才能正确求解.

2 知识拓展

2.1 地球内部引力势能的计算

图2

【例3】如图2所示，O点表示球心，地球质量为M，设想地球内部有一条从地球表面A开始到地心的直线通道AO，一质量为m物体从地球表面A点沿直线AO运动到某点B，B到地心O的距离为r.试计算物体在B点的引力势能.

解析：要计算物体在B点的引力势能，就要计算物体从A点运动到B点万有引力做的功，物体从A点到B点运动，受到的万有引力是变力，而万有引力

与到O点的距离是线形关系，所以，万有引力做功可以很方便地计算.

万有引力做功等于引力势能减少量，可得

WAB=EpA-EpB

其中

所以

2.2 试证明小球在隧道内做简谐运动

【例2】假设地球是均匀的圆球，而且在中间凿了个隧道，通过地心，直到另一端.现将一小铁球以初速度为零，放入洞中.有人说，小球会做简谐运动，那么振动周期是多少？如果不是简谐运动 ,那会是什么运动？什么理由？

解析：首先，计算小球下落到h深处时的加速度.如同一个带电小球处在一个空心球壳中所受库仑合力为零的道理一样，深处h处的质量为m的小球所受的外径为R，内径为R-h的地球球壳的万有引力之合力也为零(R为地球半径).因此，小球所受万有引力为半径为R-h的内层地球的引力.该引力为

(M′为内层地球质量)，小球在深处h处的加速度为

3 结论

所以M′ 与它的关系为

(2)任意h时

设r=R-h代表内层地球的半径

小球在r处受到的指向地心的力

其中，R=6.34*106m，g=9.86 m/s2，代入计算得到

T=5.05*103s