运用圆的知识求解物理问题

杨国平

(绍兴市第一中学 浙江 绍兴 312000)

应用数学工具解决物理问题是高考重点考查的能力之一，物理问题经常以圆作为背景来设置情境，充分运用圆的几何特性来解决物理问题，是数理结合的体现.

1 圆的几何特性

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.定点称为圆心，定长称为半径.在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

(x-a)2+ (y-b)2=r2

参数方程是

x=a+rcosθy=b+rsinθ

其中θ为参数.

圆周运动是物理学重点研究的运动形式之一，一般的曲线运动常可化为曲率圆来处理.经常涉及到的几何性质有：

(1)圆周长c= πd=2πr，圆面积S= πr2；

(2)同一段圆弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角；

2 以圆为载体的习题

(1)循环过程中的最高温度是多少?

(2)从A到B过程气体吸收的热量为多少?

解析：在p-V坐标系中圆的方程为

(p-3)2+ (V-3)2=12

结合克拉伯龙方程

pV=nRT

联立后消去p，可求出T的极大值.为简化数学运算，以下改用数形结合的方法来求解.

图1

(1)由克拉伯龙方程可求得

代入数据得

TA=300 K

同理，TD=300 K =TA，TB= 600 K=TC.对一定质量的理想气体，温度越高，在p-V图上的等温线(双曲线)离原点越远，且每条等温线(A，D在同一条上，B，C在另一条上)与角平分线垂直.由此可知,与最高温度对应的状态(记作H点)的压强

pH= (3 +1*sin45°)*105Pa

体积

VH= (3 +1*cos45°)*10-3m3

由克拉伯龙方程可求得

代入数据得

TH≈687 K

(2)A到B过程气体的内能增量

ΔE内=nCVΔT

代入数据得

ΔE内= 900 J

体积增大，气体对外做功，数值W对应于该段曲线下面所围的面积，则

|W|≈379 J

根据热力学第一定律ΔE内=W+Q，求得Q=1 279 J，正值表示吸收热量.

图2

图3

在图3(a)中，图线下的面积

代入数据得

S≈34 m2

t=10 s时的加速度a对应于切线PQ的斜率，即

为求线段OP与OQ之比值，在图3(b)中(把椭圆退化成圆周)，注意到△POQ与△BCO′相似(就算是椭圆中该结论仍成立)，则有

O′C=Rcos30°

代入数据得

3 它们的轨迹是圆周

【例3】如图4(a)所示，位于竖直平面内的直角支架MON可绕O点旋转，用两根细线拉住一个小球，开始时绳AC水平(与OM平行)，现将直角支架顺时针缓慢转过90°，设绳AC上的拉力为F1，绳BC上的拉力为F2，则在此旋转过程中

A．F1一直增大 B．F1先增大后减小

C．F2一直减小 D．F2先减小后增大

图4

解析：缓慢转动过程中F1,F2方向都在变(大小更不用说)，但小球合力为零，画出小球所受各力的矢量合成图，注意到F1与F2的合力是不变的，大小等于小球重力，方向竖直向上，选几个位置作出矢量合成图，如图4(b)，由F1，F2两个力矢量所夹的角β是不变的，根据“圆周上同一段圆弧所对的圆周角相等”，可知F1,F2两个力矢量的连接点构成的轨迹是圆周.初始状态F2就在该圆的直径上，之后F2一直减小，而F1先增大(最大值对应于圆周的直径位置上)后减小，正确答案是选项B,C.

【例4】如图5所示，在0 ≤x≤ 2a，-a≤y≤a的正方形某个区域内存在着匀强磁场，方向垂直纸面向里；在直线y=a的上方，直线x= 0与x=2a之间的区域内存在着匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴负方向.一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从O点垂直磁场方向射入，当v沿x轴正方向时，粒子恰好从A(a,a)点沿y轴正方向射出磁场，不计粒子重力.

(1)求磁感应强度B的大小；

(2)为使从O点射出的粒子飞越磁场后在电场中运动的时间最长，应加什么样的磁场(写出所加磁场的边界方程).

图5

解得

(2)解法1:只有当粒子进入电场时的速度方向沿y轴正向时，(往返)运动的时间最长，这就要求粒子从磁场区域边界上任意一点P(x,y)出射时，速度方向沿y轴正向，与此对应的半径与x轴平行.参阅图6(a)，与粒子运动轨迹OP圆弧所对应的圆心角α= 90°-θ，则有

x=a-acosαy=asinα

两式联立(消去参数α)得

(x-a)2+y2=a2

即所加磁场在以(a,0)为圆心，半径为a的圆内，如图6(a)中虚线所示.

解法2：当粒子的速度方向发生变化时，其轨迹圆的圆心位置也将发生变化，因v的大小不变，故轨迹圆的圆心到O点距离均等于a，即圆心的轨迹是圆周，如图6(b)中的虚线，其方程为

x2+y2=a2

粒子在磁场中的出射点比其对应的圆心均要右移一个距离a，即出射点(磁场边界)的轨迹为

(x-a)2+y2=a2

图6

4 条件圆与轨迹圆的和谐统一

【例5】一只狼沿半径为R的圆形岛边缘按逆时针匀速率跑动，当狼经过某一位置时，一只猎犬以相等的速率从岛中心出发追逐狼，设在追逐过程中狼、猎犬和圆心三者始终在同一直线上，问猎犬应沿何轨道追逐？

图7

解法1：直接写出猎犬的轨迹方程并不容易.我们不妨先从猎犬的速度入手，以OA为x轴，垂直向上为y轴，建立直角坐标系.设犬、狼的速率皆为v0，猎犬在直角坐标系中的速度分量

vx=v0cos(α+θ) =v0cos2θ

(1)

vy=v0sin2θ

(2)

因为

θ=ωtv0=ωR

代入式(1)、(2)得

vx=ωRcos2ωtvy=ωRsin2ωt

由初始条件：当t= 0时x=0,y=0，可得C1=0，

化简得

ρ=Rsinθ

说明：(极坐标与直角坐标的转化)上式可写成

ρ2=Rρsinθ

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直角坐标方程