对小球是否会脱离轨道类问题的探讨

魏明逊

(昆明市第三中学 云南 昆明 650011)

赵坚

(昆明市五华区教师进修学校、五华区教育科学研究中心 云南 昆明 650031)

高中物理教学中经常会遇到一类讨论沿光滑曲面由静止自由滑下的小球在下滑过程中是否会脱离轨道的问题.如固定在地面上半径为R的光滑半圆柱面，一小球无初速从顶点自由滑下，求小球脱离光滑半圆柱面的位置.教学中，有的优秀学生提出，若将轨道面变换为半椭圆柱面、光滑抛物柱面、光滑双曲柱面，其情况又将如何？为此，下面本文一一进行探讨，供大家教学中参考.

1 光滑半圆柱面

如图1所示，固定在地面上半径为R的光滑半圆柱面，其顶点有一小球无初速滑下，求小球脱离光滑半圆柱面的位置.

分析：小球不能一直沿半圆柱面滑到B处，而是在某处P时脱离柱面做斜抛运动.

方法1：如图1所示，设OP与竖直方向成θ角，当小球运动到P点时，光滑半圆柱面对小球的支持力N= 0.

图1

由向心力公式得

(1)

又由机械能守恒得

(2)

解式(1)、(2)得

图2

方法2：用函数关系判断，如图2所示，建立坐标系.

已知圆方程为

x2+(y-r)2=r2

这样建立坐标系目的是当x=0时，y=0，速度等于零，与物理情境相对应.设小球下滑中经P点时，速度为

故

利用Microsoft Mathematics4.0对上式作图，得出函数关系如图3所示，可以看出vx不是单调变化，有极大值，换言之，小球在下滑过程中会脱离圆轨道.

图3 vx-x关系图像

对vx求导，求极值

令g=10，r=1，可得

x≈0.745=rsinθ

亦即小球在此处脱离.利用数学公式

sin2θ+cos2θ=1

令r=1，计算得

与第一种方法所得结论相同.

事实上，虽然方法2是从数学函数关系角度来进行判断，但这种方法实质上是基于下面的物理事实.现在此仅就光滑半圆柱面情况作出分析.如图4所示，建立直角坐标系.

图4

由牛顿第二定律有

x方向

2 光滑抛物柱面

如图5所示，建立坐标系，抛物线方程为y=ax2(a>0)，一小球(视为质点)自坐标原点O，从静止开始沿光滑抛物线轨道下滑.试问小球下滑中是否会脱离轨道?

图5

设小球下滑中经P点时，速度为

对y=ax2求导,得

tanα=2ax

故

利用Microsoft Mathematics4.0对上式作图，得出函数关系如图6所示，可以看出,vx随θ单调增，无极大值，故小球在下滑过程中不会脱离抛物线轨道.

图6

3 光滑半椭圆柱面

(1)焦点在x轴上

图7

如图7所示，建立坐标系，椭圆方程为

设小球下滑中经P点时，速度为

故

利用Microsoft Mathematics4.0对上式作图，得出函数关系如图8曲线1所示，可以看出vx不是单调变化，有极大值，换言之，小球在下滑过程中会脱离焦点在x轴上的半椭圆柱面.

图8

令g=10，a=2，b=1，可得

x≈1.704

小球在此处脱离，与图8曲线1相对应.

(2)焦点在y轴上

如图9所示，建立坐标系.

图9

椭圆方程为

设小球下滑中经P点时，速度为

故

利用Microsoft Mathematics4.0对上式作图，得出函数关系如图8曲线2所示，可以看出vx不是单调变化，有极大值，也就是小球在下滑过程中会脱离焦点在y轴上的半椭圆柱面轨道.

令g=10，a=2，b=1，可得x≈0.592，小球在此处脱离，与图8曲线2相对应.

4 光滑半双曲柱面

如图10所示，建立坐标系.

图10

焦点在y轴上的双曲线方程

设小球下滑中经P点时，速度为

故

利用Microsoft Mathematics4.0对上式作图，得出函数关系如图11所示，可以看出vx是单调变化，换言之，小球在下滑过程中不会脱离焦点在y轴上的半双曲柱面轨道.

图11

5 小结

综上所述，一小球无初速从光滑半圆柱面、光滑半椭圆柱面、光滑抛物柱面、光滑双曲柱面滑下，在光滑抛物柱面、光滑双曲柱面滑下不会脱离轨道，而从光滑半圆柱面、光滑半椭圆柱面滑下会脱离轨道.我们认为，这样的探讨既有利于培养学生思维能力，开阔学生知识面,同时，也有利于命题者在命制试题时把握命题的深度及范围，而不至于出现科学性错误.