两类似是而非的浮体问题的求解*

龚添喜

(湖南科技大学物理与电子科学学院 湖南 湘潭 411201)

1 问题的提出

【题1】设想从某一天起，地球的引力减小一半(或增倍)，那么对于漂浮在水面上的船来说，下列说法中正确的是

A. 船受到的重力将不变，船的吃水深度也不变

B. 船受到的重力将不变，船的吃水深度减少(增加)

C. 船受到的重力将减少(增加)，船的吃水深度不变

D. 船受到的重力将减少(增加)，船的吃水深度减少(增加)

【题2】一块木头浮于烧杯内的水面(图1)，现使烧杯以加速度a上升，问对浮起的木块有什么影响？[1]

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图1 加速上升的水杯

2 问题分析与讨论

2.1 引力场问题

对于第一题，许多学生很容易陷入直观判断，地球引力减少(增加)，即物体受到的重力减少(增加)，因此，所受的浮力相应减少(增加)，即排开液体的体积减少(增加)，从而船的吃水深度相应减少(增加)，就选了选项D.而没有全面地考虑到，地球对地球附近所有物体的引力作用都会变化.正确解法如下.

方法1：由浮力产生的成因，浸在液体中的物体所受到的浮力等于液体对物体底面所受液体向上和向下的压力差.因此有

F浮=ρ液gh下S-ρ液gh下S=ρ液gSΔh

(1)

式中S为浸入液体中物体的横截面积.

物体所受重力

G=mg

(2)

地球引力变化时，即重力加速度g值改变，比较式(1)和式(2)，不难看出，物体所受到的浮力和重力是同时等值变化的.因此，可以得到在原来的状态下物体所受相应的浮力与重力仍然保持平衡，即船的吃水深度不变，所以，正确的选项应为C.

方法2：由阿基米德原理，浸在液体中的物体所受到的浮力等于物体排开的液体所受到的重力.因此，有

F浮=ρ液gV排

(3)

比较式(3)和式(2)，可以得到，地球引力引起g值改变时，船所受到的重力和船排开的水所受到的重力是同时变化的，所以，船的吃水深度不变，因此答案为选项C.

2.2 惯性力场问题

对于第二题，情况更复杂些，有些学生认为这时木块随着烧杯以加速度a上升，浮力应大于重力，才可以使木块获得加速度a，所以，木块排开水的重量应大于木块本身的重量，因此木块应下沉一些.而另有学生认为当烧杯以加速度a上升时，木块超重，即木块的视重将大于木块本身的重量，浮力应等于木块的视重，因此浮力增大了，从而排开水的体积也增加了，所以木块会下沉一些.

以上两种观点从不同角度分析，得到同样的结论，似乎很有道理.有的学生甚至联想到了磅秤，放在磅秤上的物体将会因为磅秤加速上升而示数增大(物体超重)，即弹簧被压缩的更厉害，从而产生更大的弹力以平衡物体的超重.

经过多方考虑，得到相同的似乎正确的结论即木块将下沉一些，其实是错误的.以上的分析虽然不是全错但分析不全面.他们忽略了很重要的一点，当烧杯加速上升时，水本身也会超重，即木块和水同时超重.设木块的质量为m，烧杯在静止时木块排开水的质量为m0.根据阿基米德原理，木块排开水的重量等于木块的重量，即

m0g=mg

所以

m0=m

当烧杯以加速度a上升时，木块超重，视重变为m(g+a)，设这时木块排开水的质量为m1，则m1的视重应为m1(g+a)，根据阿基米德原理，有

m(g+a)=m1(g+a)

故

m1=m

由此可见，m1=m0，即烧杯静止和烧杯加速上升时，木块排开的水的质量相同，故木块仍然浮于原来的深度.因此，烧杯加速上升时，对木块的浮沉没有影响，这才是正确的结论[1].

笔者认为文献[1]的分析中还忽略了一个问题是木块的惯性，即木块原来是处于漂浮状态，木块由于惯性要保持原来的静止状态，又由于液体的流动性，所以木块的加速运动会落后于烧杯和水，因此，木块在烧杯以加速度a上升的最初时期有下沉，从而使木块受到的浮力大于其重力而改变木块原来的状态，运动一段时间后木块、水和烧杯才具有共同的加速度a.因为题目是问现使烧杯以加速度a上升时，木块的沉浮变化，所以必须分析其初始状态.如果问题改为当木块随烧杯以加速度a上升时，木块的沉浮相对于木块漂浮在静止的烧杯的水中位置变化情况，那么，情形就与文献[1]中分析的情形一致，所以题2值得推敲以示严谨.

3 结论

以上两道题在本质上归属不同性质的问题.

题1论述的是引力场问题，引力场以光速传播是瞬间同时作用到处于场中的所有物质上，所以，处于引力场中的一定区域的所有物体所受到的引力大小会同时改变.

题2论述的是惯性力场问题，惯性力因物体间相互作用力的传播而存在滞后性.

图2 理想实验室

考虑在局域空间的一个假想实验，如图2所示，在一个封闭实验室中的观察者发现，其中一物体对弹簧测力计的拉力为mg，方向向下.他无法区分所在参考系属于下列两种情形中的哪一种.情形之一，系统正在远离引力源的太空，实验室以加速度g向上运动.此时这一局部空间中存在一个惯性力场，物体m受到一个虚力(惯性力)mg的作用.情形之二，系统停留在一个永久引力体的表面，其局部引力场的场强为g(正如在地面上的物体受到地球的引力)，此时物体受到实力(引力)mg的作用.

因此在局部空间区域，不可能将虚构的惯性力场和真实的引力场区分开来，两者的动力学效应之间存在着局部等效性.此即爱因斯坦在广义相对论理论中提出的等效原理：惯性力场和引力场的动力学效应是局域不可分辨的[2].

当局域内的物体处于同一个惯性力场时，这时物体的惯性加速度和引力加速度是等效的.此处的局域表明引力场是均匀稳定的，相应的惯性力场也是均匀稳定的.而题2中在烧杯以加速度a运动的初始时刻，烧杯和水即刻在一个场强为g的引力场和加速度为a的惯性力场的叠加场(g+a)中运动，但对木块而言是在一个场强为g和另一个不稳定惯性力场的叠加场中运动.只有在运动一段时间后木块、水和烧杯三者都以加速度a运动时，题2与题1相类似，等效于在地球引力场增大到g+a的情形，所以,这时木块浮在水中的位置和烧杯静止时木块漂浮于水中的位置一致，即木块、水和烧杯一起以加速度a运动时，对木块沉浮状态没有影响.

参考文献

1 王秉谦. 趣味课外物理. 北京：北京理工大学出版社, 2006.132～133

2 王永久. 引力理论(上册) . 北京：科学出版社， 2011.58～60