偏心受压圆截面钢筋混凝土细长柱的计算

王依群 ，许贻懂

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 天津大学港口与海洋工程教育部重点实验室，天津 300072；3. 深圳市建筑设计研究总院有限公司，深圳 518031)

工程上按照长细比的大小将钢筋混凝土柱分为3种类型：短柱(指0lh≤5的柱，0l是柱计算长度、h是柱截面高度，对圆形截面h就是截面直径d)、中长柱(5＜0lh≤30)和细长柱(0lh＞30)[1-4]．3类柱中，对短柱不需考虑附加弯矩的影响，而对于长柱(包括中长柱和细长柱)，则应考虑附加弯矩对承载力降低的影响．

近年来，随着高强混凝土和高强钢筋在工程中的应用，使钢筋混凝土柱的截面尺寸日益减小，特别是建筑师追求建筑奇特和个性化，跃层柱已不鲜见，使得柱长细比越来越大，很多达到了细长柱的范畴，这一发展趋势使纵向弯曲对构件承载力的影响更加显著，增大了受压柱失稳破坏的危险性[5]．

文献[6]给出了矩形截面混凝土细长柱配筋的手算与查表法，文献[3]在文献[6]基础上提出了适合我国设计规范[1]的电算方法并编制了相应的计算机软件．

参照文献[6,3]的做法，笔者为防止圆截面混凝土细长柱失稳破坏，提出了符合我国设计规范[1]建议采用的模型柱法的配筋计算公式和计算机软件编制流程，以保证该类柱的安全可靠和方便设计．

1 问题的提出

截面尺寸和强度均相同的 3类柱(短柱 C、中长柱A和细长柱B)，受压的偏心距0e相同时，随着长细比的增大，其承载力依次降低(见图1)．

图1 偏心受压柱N-M曲线Fig.1 N-M curves for column under eccentric compression

《混凝土结构设计规范》GB50010-2002[1]对短柱和中长柱给出了配筋计算公式，对细长柱给出了设计思想，体现在第 7.3.10条的条文说明中：“值得指出，公式(7.3.10-1)对0lh≤30时，与试验结果符合较好；当0lh＞30时，因控制截面的应变值减小，钢筋和混凝土达不到各自的强度设计值，属于细长柱，破坏时接近弹性失稳，采用公式(7.3.10-1)计算，其误差较大；建议采用模型柱法或其他可靠方法计算”．笔者按照模型柱法公式对圆截面细长柱进行配筋的．新的《混凝土结构设计规范》GB50010—2011仍然只给出了短柱和中长柱的配筋计算公式，未给出细长柱的配筋计算公式，甚至在正文或条文说明中既未给出中长柱的上限，也未提醒设计人员细长柱存在失稳破坏的危险性．

受力时短柱和中长柱会发生强度破坏，而细长柱发生失稳破坏(见图 1)．本文建议的有关细长柱的计算方法针对的是失稳破坏．因为钢筋混凝土构件是明显的弹塑性材料构件，强度破坏肯定早已进入了弹塑性，《混凝土结构设计规范》该条的条文说明“当l0h＞30时，因控制截面的应变值减小，钢筋和混凝土达不到各自的强度设计值，属于细长柱，破坏时接近弹性失稳，”即《混凝土结构设计规范》明确是弹性失稳破坏．近年的矩形截面大长细比钢筋混凝土柱承载力试验[5]表明，当长细比 l0h≥25时，如使用《混凝土结构设计规范》正文中的计算公式则会得出明显偏小的配筋结果．因此，该文建议当0lh≥25宜用模型柱法进行配筋计算．文献[5]中试件 6比试件 1配筋率约增加了 20.9%，混凝土强度相近，但因长细比从20增加到25，试件极限承载力反而降低了27.4%，由此可看出，柱长细比超过某值后(即杆件稳定起控制时)，随长细比增大，柱承载力急剧下降的趋势．本文算例也表明，防止失稳破坏要比规范给出的方法增加很多配筋．

2 单向偏心受压长柱配筋计算的模型柱法

细长柱产生偶然初始偏心的可能性比短柱要大得多，如我国规范[1]规定长柱最小初始偏心距应不小于h/30和20,mm的较大值，从而细长柱更不大可能有真正的中心受压情况，因此，下面假定细长柱在偏心压力作用下产生弯曲．

模型柱是具有某一曲率(正弦曲线)分布的一根底端固接的悬臂柱(见图 2)．失稳破坏时，曲率分布必须满足规定的条件，即悬臂柱顶的侧向位移(由柱底处切线量起)必须满足

式中：f为柱顶侧向位移；s为柱长，等于 2l (l为基本长柱的长度，基本长柱是指两端铰支且变形满足正弦曲线的长柱．基本长柱的长度指两铰支点间的距离，本文中柱的计算长度与此相同)；1/r是柱底截面曲率．

实际结构中的柱均可按支承约束条件分解成若干个模型柱来计算．工程中柱的上、下端弯矩往往是不相等的，许多情况下甚至是弯矩反号的，这时可根据柱上、下端弯矩确定柱的反弯点位置，两反弯点之间的距离即标准柱(图3中基本长柱)的长度．

图 3所示的基本长柱可分解为两个模型柱．因此，破坏时基本长柱中(或模型柱顶(底))点截面处的变位为

在柱顶弯矩1M、柱顶位移f与柱顶压力 N的附加作用下，柱底截面的总弯矩为

式中：M1是一阶弯矩；M2是附加(二阶)弯矩，M2= N f．

图2 模型柱Fig.2 Model column

图3 基本长柱分解为两个“模型柱”Fig.3 A basic slender column is decomposed to two model columns

使用柱底截面的总弯矩M和柱底截面的轴力，再结合规范[1]给出的偏心压力作用下各种形状截面短柱受弯承载力公式即可计算该细长柱的配筋．

由于圆截面的对称性，可取其所受弯矩矢量最大的方向进行配筋计算．

截面高度为h的柱底截面曲率表达式[3]为

式中 v = N ( fcA)，其中N为柱受到的轴向压力，fc为混凝土抗压强度设计值，A为柱截面积．

对于圆形截面柱，文献[7]经过精细计算与实际工程测量给出的曲率公式中，截面高度h取为圆截面有效高度，即 d-a，这里 d为圆截面直径、a为纵向钢筋半径加上保护层厚度．本文参照文献[7]的做法．

3 偏心受压圆截面中长柱配筋的计算机软件实现

混凝土设计规范[1]7.3.8条给出了沿周边均匀配置纵向钢筋的圆形截面中长柱和短柱偏心受压柱承载力计算公式，即

式中各符号的意义见文献[1]．取式(6)中偏心距增大系数1η=即得到短柱的偏心受压承载力．

式(5)～式(7)与规范[1]的上一版本(89规范)的区别在于用cf代替了cmf(混凝土弯曲受压强度)，即现行规范设计的安全度略有提高．文献[8]在 89规范的式(5)～式(7)基础上提出了简化方法，CRSC软件[9]将文献[8]方法在计算机软件上加以实现，其中混凝土强度采用cf，使偏心受压圆截面中长柱和短柱(1η=)承载力计算可以得到快速完成．

4 偏心受压圆截面细长柱配筋的计算机软件实现

对于圆形截面细长柱，取出结构内力分析得到的柱标准内力进行组合，地震作用组合时要进行抗震内力调整得到前述的一阶弯矩1M；根据柱上、下端约束情况确定模型柱计算长度；用式(4)根据所用材料特性计算柱底截面曲率；用式(2)计算模型柱顶位移；使用柱顶压力值 N和模型柱顶位移算出二阶弯矩2M．将1M、2M相加得到柱底截面的总弯矩M，用此M代替式(6)中的iNeη，地震作用组合时式(5)、式(6)左端应乘承载力抗震调整系数REγ．求解方程组(5)～式(7)，即可得到需要的配筋结果．使用文献[7]的方法求解方程组，将以上步骤编制计算机程序就是 CRSC软件实现偏心受压圆截面细长柱配筋的过程．

下面用算例来分析 CRSC软件与式(5)～式(7)计算结果之间的差异．

5 细长柱工程算例分析

7度(0.15g)设防，Ⅱ类场地，3跨3开间柱网，两方向相邻轴线距离均为 3.3,m．层高 4,m，共 10层，各层平面如图 4所示．所有柱截面直径为 0.4,m，梁截面尺寸均为 0.25,m×0.45,m．C25混凝土，钢筋强度设计值为300,N/mm2．基本风压：W0＝0.30,kN/m2；地面粗糙程度：B类；体形系数：1.30．

按照梁柱线刚度比(混凝土规范 7.3.11-3条)确定柱的计算长度过程为：柱截面惯性矩Ic＝πd464＝π 0 .4464＝0.001,257,m4．由层高数据可算出单层柱和跃三层柱的线刚度分别为：ic1＝Ic,Ec/4＝0.000,314,2,Ec；ic3＝Ic,Ec/12＝0.000,104,7,Ec．梁截面惯性矩 Ib＝0.25×0.453/12＝0.001,898,m4．梁的线刚度 ib＝Ib,Ec/3.3＝0.000,575,Ec．

图4 结构平面图Fig.4 Structural plane

计算长度系数

CRSC采用软件SATWE柱计算长度的记法：对于跃层柱，这里的“柱长度”是柱所在当前(一个楼层的)楼层高．比如一个跨越 3层的跃(越)层柱，记它所在3层的层高分别为h1、h2、h3，程序首先根据层信息将跃层柱接成一个完整的柱(其长度为 H＝h1＋h2＋h3)，根据此完整柱本身线刚度和其上、下两端梁的线刚度计算出该柱x或y方向的计算长度系数(分别记为 Cx和 Cy)，则对于第 i层(i＝1、2、3)柱段，有Cxi＝Cx×H/bi、Cyi＝Cy×H/hi．该柱在 4、5、6 层的长度系数为 Cyi＝Cy×H/hi＝1.0541×12/4＝3.16．

于是该柱的计算长度为1.054 1×12＝12.648 m，lh＝12.648/0.4＝31.62超出了混凝土规范公式(7.3.10)的适用范围．

以下用手算 4层 6号柱的配筋，并对 CRSC计算结果进行检验．经计算恒载、活载和风载组合对该柱配筋起控制作用．采用2009年10月版本SATWE软件计算得到该柱下端恒载、活载和风载下的标准内力(轴力、弯矩)如表1所示．

表1 柱下端标准内力Tab.1 Normal inner forces for column’s down section

经计算该柱配筋由 21号内力组合控制，内力组合式为：1.2恒＋0.98活－1.4风(x向)．得到设计内力如下：

因截面双轴对称，可简化为只计算第一象限情况，即双轴弯矩均取其绝对值．内力代入以上公式可得

模型柱顶点的变位为

再求出偏心距与截面有效半径的比值，即文献[8]中的ηeirs＝1.55，据此查文献[8]图3可得混凝土柱截面对应于受压面积的圆心角与 2π的比近似值α＝0.45，参数s＝ fyAs( fcA)＝1，截面全部纵向钢筋面积 As＝ fcAsfy＝4,985,mm2．以此作为初值代入式(5)～式(7)手算复核，迭代至α＝0.445、As＝4 985,mm2时，式(5)、式(6)右端分别为 711.98 kN、197.4 kN·m均与柱受到的N、M相近．

将 As＝4 985,mm2按纵筋沿截面周边配置，且间距不大于 200,mm，可配置6根直径36,mm的钢筋，再按文献[8]进行保护层厚度的修正sA＝4,985×0.86/0.76＝5,642,mm2，实际配筋量 6,107.4,mm2．

软件 CRSC的配筋结果为：柱计算长度 12.648 m，长细比 31.62，控制内力组合号为 21，纵向配筋为6,Φ,36(6,107.4,mm2)，与以上手算结果相同．

软件SATWE算出此柱的长度系数为2.05，配筋结果为：截面全部纵向钢筋面积 As＝2,248,mm2，只有以上按模型柱法配筋结果 As＝5,642,mm2的 40%；经人工修改此柱的长度系数为 3.16后，此柱的配筋结果为：截面全部纵向钢筋面积 As＝4,991,mm2，比以上按模型柱法配筋结果As＝5,642,mm2少12%．

此外，本例的边柱计算长度更大，CRSC计算结果是配筋率超过 5%的最大配筋率限值，而 SATWE仍给出了配筋结果，而未给出超筋的提示，显然其配筋面积偏小了．配筋偏小的原因是软件SATWE使用规范[1]中长柱计算公式对细长柱进行配筋，造成了安全隐患．

6 结 语

由于过去钢筋混凝土细长柱应用不普遍，混凝土结构设计规范[1]未给出其设计方法，只是在条文说明中给出了细长柱的界定，并建议用模型柱法进行设计．圆截面短柱、中长柱配筋公式非常复杂，细长柱更为不易，为此，本文给出了计算公式并列出了软件实现的步骤和实例．随着材料强度的提高和跃层柱的应用，细长柱已不鲜见，如果设计中将细长柱当作中长柱处理，将造成安全隐患．笔者根据细长柱的概念和模型柱法的设计过程，编制了计算机软件．通过一工程算例手算与软件电算结果的对比表明：按规范正文中长柱的公式计算细长柱配筋则结果偏小很多；本文软件准确可靠，为保障结构安全和方便设计提供了条件．

［1］ 中华人民共和国建设部. GB50010—2002 混凝土结构设计规范[S]. 北京：中国建筑工业出版社，2002.

Ministry of Construction of the People’s Republic of China. GB50010—2002 Code for Design of Concrete Structures[S]. Beijing：China Architectural Industry Press，2002(in Chinese).

［2］ 王传志，滕智明. 钢筋混凝土结构理论[M]. 北京：中国建筑工业出版社，1985.

Wang Chuanzhi，Teng Zhiming. Theory of Reinforced Concrete Structures[M]. Beijing：China Architectural Industry Press，1985(in Chinese).

［3］ 王依群，孙福萍. 双向偏压钢筋混凝土圆截面细长柱的配筋计算[J]. 建筑结构，2010，40(2)：85-88.

Wang Yiqun，Sun Fuping. Reinforcement calculation for slender columns of concrete under axial load and bidirection moments[J]. Building Structures，2010，40(2)：85-88(in Chinese).

［4］ Gregor J G M，Breen J E，Pfrang E O. Design of slender concrete columns[J]. ACI Journal，1970(2)：6-28.

［5］ 张光纬，张勋斌，邵 军，等. 大长细比钢筋混凝土细长柱承载力试验研究[J]. 建筑结构，2008，38(10)：99-101.

Zhang Guangwei，Zhang Xunbin，Shao Jun，et al. Experiment study on bearing capacity of reinforced concrete slender columns[J]. Building Structures，2008，38(10)：99-101(in Chinese).

［6］ Monual De Calcul CEB-FIP. Flambement Instabilite [S].Bulletin D’ Information，CEB，1973：93.

［7］ 张 利，李子青，胡兆同，等. 数值法求解圆柱形钢筋混凝土桥墩的 M-φ曲线[J]. 西安公路交通大学学报，2001，21(3)：45-48.

Zhang Li，Li Ziqing，Hu Zhaotong，et al. Calculation of the M-φ curve of cylinder reinforcing concrete pier by numerical method[J]. Journal of Xi’an Highway University，2001，21(3)：45-48(in Chinese).

［8］ 吕志涛，杨小凤. 圆形和环形截面钢筋砼受力构件正截面承载力的简捷实用计算[J]. 建筑结构，1996，26(5)：16-24.

Lü Zhitao，Yang Xiaofeng. Practical calculation of cross-section bearing capacity of reinforced concrete members with circular or ring-shaped members[J].Building Structure，1996，26(5)：16-24(in Chinese).

［9］ 严士超，康谷贻，王依群，等. 混凝土异形柱结构技术规程理解与应用[M]. 北京：中国建筑工业出版社，2007.

Yan Shicao，Kang Guyi，Wang Yiqun，et al. Understanding and Application of the Technical Specification for Concrete Structures with Specially Shaped Columns[M]. Beijing：China Architectural Industry Press，2007(in Chinese).