增城市GPS高程拟合精度研究

史经

(增城市金站城市建设测量队，广东增城 511300)

1 引言

高程拟合是在GPS点布设的区域内，根据已知点的平面坐标和高程异常ξ值，通过数值拟合的方法，拟合似大地水准面，再用似大地水准面数学模型内插求待定点的ξ值，进而求出待定点的正常高Hr［1］。

常用的拟合计算方法有:多项式曲面拟合、加权均值法、多面函数曲面拟合、线性移动拟合法、多层神经网络法等。考虑到模型的实用性及计算实现的方便性，本文选用了多项式曲面拟合法计算。

增城市 1 600 km2范围内有2/3以上是山地，高程异常变化较大，通过最小二乘估计，使用二次曲面拟合的方法求得的正常高并不能精确反映真实的地形情况;如使用分区拟合，虽然能较好反映地形情况，但在数据处理时非常繁琐，同时还涉及各个曲面的光滑连接处理，不太适用于实际生产［2］，因此，本文采用三次多项式曲面拟合法求得的似大地水准面模型来逼近大地水准面。

2 多项式函数拟合法的数学模型

多项式函数拟合法的基本思想是在GPS区域网内，将似大地水准面看成一个数学曲面，高程异常ξ表示为平面坐标(x，y)的函数，用联测水准测量的GPS观测点作为网中起算点，用已知高程异常值结合起算点的平面坐标值来计算测区内似大地水准面的模型，进而用在模型上内插就可求出其余各点的高程异常值［3］，其数学模型为:

式(1)中，Z(x，y)是拟合的似大地水准面;ε是拟合残差。而:

式(2)中，a为拟合待定参数，x，y为各GPS点的平面坐标，p，q为多项式的阶数。由最小二乘法得:

式(3) 中，点(a00…ap－1q－1) 是多元函数 ε(a00…ap－1q－1)的极小点，w(x，y)为权函数，从而 a00…ap－1q－1必须满足方程组:

对ε函数求偏导，移项之后得:

其中φij=xiyj。上式(5)可简写成 A×Aa=B，则可求出拟合待定参数为Aa=A－1×B。

再由式(1)、(2)可得出任意平面点对应的高程异常值ξ，再由公式Hr=HG－ξ推出正常高Hr。

3 拟合函数的评估

对于多项式拟合函数的评估采用一元回归模型方法，所谓回归模型方法，就是从一组地理要素(现象)的数据出发，确定这些要素数据之间的定量表述形式，即建立回归模型。通过回归模型，根据一个或几个地理要素数据来预测另一个要素的值。模拟回归模型时，必要条件是具有两个相应变量系列，其中同一系列的每个元素完全相应于另一序列的元素，这时就可以实现内插和外推两个任务［4］。

设观测数据L=(ξ1ξ2…ξn)T，等权。选取拟合函数BX，相应的模型误差为δ，L的观测误差为△，则其函数模型为:

用BX对L进行拟合，要求(BX－L)T(BX－L)=min(最小)，可得该方程为:

将式(6)代入，得:

其中，BX+δ为理论模型，采用的实际模型为BX，其拟合误差为:

回归模型的精度，可通过ε来确定，根据最小二乘法原理，ε的平方和为最小是最好的，一般是采用回归方程的剩余标准差来估计，即:

式(10)中，S的大小反映回归模型的效果。通过回归效果的显著性检验，可以证明它是一个具有自由度(1，m－2)的 F 变量，即:

式(11)中:r为相关系数。可见，一元回归时，回归效果的好坏可以通过相关系数的大小来鉴别，因此，拟合函数的选取应该是:

(1)精度σ2给定时，拟合函数中引入的参数要尽可能地少，即要引入在观测数据中占主要成分的那些主参数，次要参数尽可能地排除在拟合函数之外。

(2)最后确定的拟合函数，其参数必须按最优的准则确定，即采用最小二乘估计。

4 GPS高程拟合精度分析

4.1 项目概况

增城市1∶2000数字航测已覆盖全市1 600多平方千米，2/3以上地形为丘陵和山区，北部山区高程异常值偏差较为明显，拟合区域呈面状分布。本次测量共采用四等以上水准联测点105个，且均匀分布在全市各镇，其中拟合点为102个(另外3个作为较差检校点)，GPS水准联测点分布情况如下图1所示。

图1 GPS水准联测点分布图

4.2 精度统计

通过拟合函数评估方法来选取拟合函数的模型，当拟合模型的估值精度σ2给定到一定值时，这时两种函数的模型误差δ会趋于接近;当再提高精度值σ2时，则其中一种模型误差值会明显增大。以下用102个已知正常高和大地高的拟合点(不计原始数据测量误差)对不同次数的两种多项式拟合模型分别建模后求残差值，如表1所示。

多项式拟合残差统计表 表1

eldb01 33.188 27.520 5.668 －2.2 －2.6 dj01 13.301 7.798 5.503 4.3 2.5 ptzx01 19.849 14.123 5.726 4.7 3.1 smlsk 71.764 65.881 5.883 1.7 4.4 dfmsk01 272.185 266.613 5.572 －8.5 －5.8 zgdz01 18.671 13.486 5.185 5.5 3.4 hwxx01 18.645 13.529 5.116 5.9 3.6 hpxx 30.493 25.497 4.996 1.2 0.1……… … … …中误差 M0/cm 3.82 2.58

求得二、三次多项式系数 a1、a2后，再由式(1)、(2)反推其他任意待定点的高程异常及正常高值。本次精度分析计算采用3个较差检校点，较差数据如表2所示。

多项式模型精度比较表 表2

由表1和表2的统计数据获得两种拟合模型求得的正常高与水准高程值比较，三次多项式拟合残差中误差较小，仅为M==±2.58 cm，最大值为△Hmax=6.8 cm，最小值为△Hmin=0.1 cm，与水准检校点比较，其较差平均值为0.9 cm，因此，三次多项式拟合在地势起伏较大的地区具有精度高，误差分布均匀的优点。

5 结语

(1)增城市地势起伏明显，南北高差可达 1 km以上，实验结果证明用三次曲面拟合模型计算的似大地水准面比二次模型精度更高。多项式的次数应根据测区的实际情况来定，并不是越高越好，次数太高会出多个尖点，引起似大地水准面的不光滑，而且次数太高也会影响计算速度。

(2)似大地水准面是纯几何面，通常是光滑且起伏变化平缓的，因此，只要布点均匀合理，点数相当，用几何模拟方法来确定其模型是可行的［5］。

(3)在高程异常起伏较小的平坦地区，可以用GPS高程拟合的方法代替普通几何水准测量。对于面状测区，参与计算的几何水准点应尽可能包围所有的拟合点;在地形复杂的测区，应适当增加水准重合点观测。

［1］蒋诗洋.实时获取GPS高程拟合关系研究［J］.测绘通报，2007(4):49 ～50，55

［2］姚兴双，于久申，满雪峰等.局域CQG2000似大地水准面模型的数字化及应用［J］.测绘通报，2007(11):4～9

［3］于小平，杨国东，许惠平等.GPS RTK高程拟合方法精度研究［J］.测绘通报，2006(11):19～21

［4］李晓桓.GPS水准拟合模型的优选［J］.测绘通报，2003(7):11～14

［5］邓兴升.确定高程异常的统计学习方法［J］.测绘通报，2008(4):4～7