变荷载下结构性土一维固结近似解

安 然，谢康和，邓岳保，王 坤

（浙江大学 岩土工程研究所，杭州 310058）

1 引 言

受沉积历史和土的胶结等作用的影响，天然软土大都具有结构性，结构性对土的工程特性有显著影响。已有研究表明：当土体有效应力大于土体的结构屈服应力时，土体结构发生破坏，土体压缩性明显增大[1－3]、渗透性显著降低[4－6]。因此，土体的结构性会对土体固结产生重要影响，在地基固结中考虑土体的结构性是非常必要的。

王军等[7－8]采用以结构屈服应力为分段点的分段模型，假设结构破坏前、后渗透系数和固结系数均为常数，得到了结构性软土地基的一维固结近似解，但没有考虑土体的非线性特性，也不便于推广到双面透水边界、变荷载和双层及多层地基情形。唐颖栋等[9]运用成层地基一维固结思想，得到了考虑了土体的自重应力和非线性压缩及渗透特性的结构性软土地基的一维固结半解析解。曹宇春等[10]考虑了固结过程中结构性土体的非线性压缩特性、渗透系数的变化及施工荷载随时间任意变化，推导了天然结构性土体的一维非线性固结方程，利用Crank-Nicolson差分格式进行了求解。

大量试验研究表明，结构性土的渗透系数和体积压缩系数数随有效应力的变化更符合 e-lgσ′和e-lgkv，后者可采用双折线或三折线表示[11]，此种描述较符合实际但不易得到解析解。王军等[7－8]采用分段模型描述渗透系数和固结系数的变化规律，而反映土体性质的是渗透系数和体积压缩系数。本文采用简化的k-σ′和mv-σ′分段模型，把结构性土一维固结问题转化为上、下层土体厚度随着结构破坏面位置的变化而逐渐变化的的双层地基一维固结问题，得到了变荷载下结构性软土地基的一维固结近似解，通过与差分解的对比得出本文方法的可行性，并分析了结构破坏后k和mv的变化分别对结构性土固结特性的影响。

2 问题的描述

设结构性土层厚度为H，排水条件为顶部排水、底部不排水，不计土体自重。地面作用有均布连续递增荷载，起始值为 q0，荷载终值为 qu(qu＞σ′p，σ′p为土体结构屈服应力)，如图1所示（图中t ′=t-t0）。在固结过程中，当所加荷载小于土体结构屈服应力时，土体中未发生结构破坏，土体的渗透系数和体积压缩系数与原状土相同。当所加荷载大于土体结构屈服应力时，上层土体先发生结构破坏，其渗透系数和体积压缩系数均发生变化，而下层土体的渗透系数与原状土相同。随着固结地进行，发生结构破坏的土层逐渐增厚，整个软土层最终将完全发生结构破坏（设此时的时间为t1）。因此，结构性土的一维固结问题可视为上层土不断增厚，而下层土厚度逐渐减小的双层地基一维固结问题，上、下土层的交界面称为移动边界，如图2所示。

图1 荷载与时间关系曲线Fig.1 Curve of load and time

已有试验表明，结构性土的压缩曲线为陡降型，当应力超过σ′p时压缩性急剧减小[3]；同时应力超过σ′p后渗透系数急剧降低，并趋于某一常数。为得到近似解，本文假设土体结构破坏前、后渗透系数和体积压缩系数均为常数，采用分段模型描述结构性土渗透系数和体积压缩系数随有效应力的变化关系，如图3所示。原状土的渗透系数和体积压缩系数为k1和mv1，土体破坏后渗透系数和体积压缩系数为k2和mv2。

图2 结构性软土地基一维固结计算简图Fig.2 Schematic diagram of one-dimensional consolidation of structured soil

图3 渗透系数和体积压缩系数的简化模型Fig.3 Simplified model for permeability and volume compressibility coefficients of structured soil

当0＜t≤t0时，土体结构未发生破坏，此时为变荷载下初始孔压均布的单层地基一维固结问题，可由现有变荷载下一维固结解获得t0时的孔压σ(z)。

当 t0＜t≤t1时，假设对任意 t时刻，结构破坏面（即移动边界）位置为Ht，此时单层结构性土转化为双层地基土。

与太沙基一维固结理论采用相同的假定，并采用t′（t′=t-t0）坐标代替时间坐标，则任意层土体的固结微分方程为

当t＞t1时，Ht=H，土体结构全部破坏，双层地基又转化为初始孔压非均布的单层地基。

3 问题的解答

3.1 一般解答

3.1.1 孔压计算

0＜t≤t0时，由变荷载下一维固结理论，得t时刻土体孔压为

当t0＜t≤t1时，由上述分析知，对于任意一个固定的时刻 t，Ht是确定的。上述所求即变为变荷载下初始孔压非均布的双层地基线性固结问题。

定义无量纲参数： a=k1/k2， b=mv1/mv2， ρ1=据文献[12]可得：

当z =Ht时，有 σ′=q(t)-u1=σp′，即：

式（10）即为Ht与t的对应关系，其中的λm、ρ1、βm、Bm及Cm均与Ht有关。已知任意时刻t，可采用迭代法求得相对应的移动边界所处的深度Ht(0≤Ht≤H)；同理，已知移动边界所处深度Ht，亦可求得相对应的时间t。已知Ht和t，即可求得对应时刻t的孔压及固结度。

当t＞t1时，双层地基转化为初始孔压非均布的单层地基，则相应的土体孔压为

3.1.2 固结度计算

按孔压定义的平均固结度可写为：

式中：

另外，t时刻土层顶部沉降为：

则按沉降定义的平均固结度为

3.2 特殊加载下的解答

下面给出两种特殊加载下t0＜t≤t1时刻的解答。

3.2.1 瞬时加载下，式(9)和(11)可转化为

相应的固结度：

3.2.2 单级等速加荷

荷载函数为

当t≤tc时，式（9）和（11）可转化为

相应的固结度为

当t＞tc时，式（9）和（11）可转化为

相应的固结度为

4 实例验证与分析

4.1 实例验证

为验证近似解的合理性，考虑了瞬时加荷下近似解与差分解的对比。差分方程基于Crank-Nicolson差分格式，土层的空间和时间节点分别为 i、j(i=1,2,…,n；j=0,1,2,…)，空间步长为Δz，时间步长为Δt。假设土层破坏面处节点i=m。

非m点处差分方程可离散为

式中： β1= Cv1Δt/ Δ z2； β2= Cv2Δt / Δ z2。

m点层间连续条件为

式中： α= k2/(k1+k2)。

算例中取R=0.2，a=1.5，b=0.75，H=10 m。表1为近似解求得的不同时间因子Tv下的的Ht/H值，图4为近似解与差分解的孔压对比，图5为按孔压定义的平均固结度Up的对比。

由对比可知，近似解的孔压值在固结中期稍大于差分解，本文中结构破坏至土层底部的 Tv为0.184 8，由图5可知，差异最大处即为该时刻附近（Up差值在4%以内）。而在固结初期和固结末期与差分解比较吻合。近似解推导简单，便于应用，经分析认为，本文方法可以用于结构性土的固结计算。

表1 不同时间因子Tv下的Ht /H值Table 1 Values of Ht /H with different time factors of Tv

图4 近似解与差分解孔压的对比Fig.4 Comparison of excess pore pressure between the results by approximate solution and FDM

图5 近似解与差分解Up的对比Fig.5 Comparison of degree of consolidation between the results by approximate solution and FDM

4.2 线性加载下结构性土固结分析

现考虑q0=0时线性加载下的结构性土固结。为了分析结构破坏后，mv和k的变化分别对结构性土固结的影响，给出3个算例进行计算，土层计算参数见表2。土层厚度H均取10 m，R取0.2，Tvc=0.1。

表2 3种算例下的固结计算参数Table 2 Parameters of consolidation for three examples

图6、7分别为3种算例下的Up和Us对比曲线。可知结构破坏后，在Cv减小程度相同的情况下，因渗透系数k是影响Up的关键因素，k减小得越多会导致Up减小程度增加；而mv增加会导致总体沉降增加，所以mv增加得越多会导致Us减小程度的增加。当Cv的减小全部由k的减小引起时Up最小，当Cv的减小全部由mv的增加引起时Us最小。

图6 3种算例下的Up对比曲线Fig.6 Curves of average consolidation rate in terms of deformation for three examples

图7 3种算例下的Us对比曲线Fig.7 Curves of average consolidation rate in terms of stress for three examples

图8反映了不同算例下的 Up、Us对比，因mv2＞mv1，且结构破坏是自上而下进行的，只有当全部土体结构破坏后，整个土层的压缩性才达到最强，所以有Up＞Us，且随着mv的增加大于k的减小，二者的差距加大，当Cv的减小全部由mv的增加引起时，二者差距最大。

图8 算例2和算例3下的Up、Us对比曲线Fig.8 Curves of average consolidation rate in terms of stress and that in terms of deformation for example 2 and 3

5 结 论

（1）采用简化的 k-σ′和 mv-σ′模型，通过把结构性土一维固结问题转化为上层土体厚度逐渐增加和下层土体不断减小的双层地基一维固结问题，获到了变荷载下结构性软土地基一维固结近似解。与差分解对比得出，近似解孔压值在固结初期和固结末期逼近差分解，在固结中期略大于差分解。

（2）k的减小和mv的增加都会导致Up和Us减小。但在Cv减小程度相同的情况下，k2不断减小时伴随有 Up减小程度增加；而 mv2不断增加会导致Us减小程度的增加。对单层结构性土，Up＞Us，且随着mv2的增加和k2的减小，二者差距加大。

（3）较以往差分解，本文方法计算简便，并可推广到双层或多层结构性土地基的求解。

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