带异号电荷两绝缘小球对心正碰的运动学方程

李玮仑

（西安建筑科技大学机电工程学院，陕西西安 710055）

带异号电荷两绝缘小球对心正碰的运动学方程

李玮仑

（西安建筑科技大学机电工程学院，陕西西安 710055）

本文利用分离变量求解微分方程和换元积分法推导出带异号电荷的两绝缘小球发生对心正碰的运动学方程，从而得以掌握运动小球在任一时刻的运动状态.

运动学方程；换元积分法；分离变量；异号电荷；绝缘小球

引言

带电小球碰撞问题是物理教学中的典型实例，在传统的解题方法中通常使用动能定理及机械能守恒定律计算特定位置小球的速度或势能（近似为点电荷）.本文通过几种高等数学基本计算方法以牛顿第二定律列写动力学方程为基础研究讨论碰撞问题中小球的运动学方程（其中一球固定不动）.根据该问题建立坐标如图1：

图1 两带异号电荷绝缘小球初始位置示意图

图1中，设初始时刻C、D两球相距L；半径均为R；质量均为m1.以运动小球C的初始位置为坐标原点O，初速度为v1，带电量为＋q1（q1＞0）；固定小球D带电量为－q2（q2＞0）.两小球所在直线为x轴.

1 碰撞前小球动力学方程及其求解

碰撞前，当0＜x＜L时根据牛顿第二定律，得C球的动力学方程

用分离变量法求解该微分方程得

解得

令

得到了位移x对t的微分方程

继续对上式分离变量求解

利用换元积分法求解式（5）的定积分，令

则有式（5）

（积分上下限省略）

则有式（5）

确定积分上下限

将积分上下限代入式（6）得碰撞前小球的运动学方程

方程1：

2 碰撞分析

图2 两带电小球发生碰撞示意图

碰撞时，将x＝L－2R代入碰撞前小球的运动学方程（即方程1）与式（4）得

假设两小球发生完全弹性碰撞，又因两小球均为绝缘小球，所以碰撞后带电情况无变化且C球反向初速度v2＝vp.

3 碰撞后小球动力学方程及其求解

图3 碰撞后小球运动情况示意图

碰撞后，当0＜x＜L时根据牛顿第二定律得

令L－x＝x′，有

得

利用和推导碰撞前C球的运动学方程同样的换元积分法就可得碰撞后小球的运动学方程（设为方程2）.

方程2：

4 结果分析

将x＝0代入碰撞后小球的运动学方程（即方程2）和式（10）得

这显然符合动能定理及功能转换关系.

当已知小球运动的时间t（t＜tp时代入方程（1），t＞tp时代入方程（2））时，即可确定小球的位置坐标.通过式（4）或式（10）（t＜tp时代入式（4），t＞tp时代入式（10））又可确定出小球的速度，这样小球的运动状态就可清楚地掌握了.

5 结果展望

根据以上推导得出了碰撞小球的运动学方程从而掌握了发生此类碰撞时任一时刻小球的运动状态.然而，点电荷之间相互作用的库仑力和两行星之间相互作用的万有引力具有相似性，并且库仑定律和万有引力定律在数学表达式上也有相同的规律，它们都遵循平方反比定律.那么，不妨这样考虑：将固定的D球类比为一个恒星，C球类比为一个行星，行星在恒星万有引力的作用下以一定的初速度撞向恒星.这样带电小球的碰撞问题就转化成了行星碰撞问题，可以根据万有引力定律和牛顿第二定律列出行星的运动学方程，再根据以上介绍的换元积分法和分离变量法就可将这一问题搞清楚了，这样就将以上讨论的问题和天体物理联系在一起了.

［1］ 同济大学数学系.高等数学 第六版（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2007.193～200

［2］ 吴百诗，张孝林.大学物理基础（下册）［M］.北京：科学出版社，2007.4

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2011－11－21）

李玮仑，1991年出生，现就读于西安建筑科技大学机电工程学院2009级.