一道自主招生试题的探究与推广

☉江苏省高邮市第二中学 于海军

一、提出问题

2011年北大等十三校联考（北约）自主招生考试数学试卷的压轴题是：

求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.如何求？

二、探究思路

A.190 B.171 C.90 D.45

这是2006年全国高考题.处理这类含绝对值的最值问题主要有两种途径：（1）利用绝对值的几何意义借助三角不等式|a|+|b|≥|a±b|；（2）利用绝对值零点分段讨论作函数的图像.

解法一：|x-1|+|x-19|=|x-1|+|19-x|≥19-1，当且仅当x∈［1，19］时取等号|x-2|+|x-18|=|x-2|+|18-x|≥18-2，当且仅当x∈［2，18］时取等号|x-3|+|x-17|=|x-3|+|17-x|≥17-3，当且仅当x∈［3，17］时取等号

……

|x-9|+|x-11|=|x-9|+|11-x|≥11-9，当且仅当x∈［9，11］时取等号

|x-10|≥0，当且仅当x=10时取等号.

而x=10∈［9，11］⊆［8，12］⊆［7，13］…⊆［1，19］

故当x=10时，上述各不等式中的等号同时成立.

所以f（x）的最小值为f（10）=9+8+7+…+2+1+1+2+…+9=90.选C.

解法二：当x∈（-∞，1］时，f（x）=（1-x）+（2-x）+…+（19-x）=1+2+3+…+19-19x.

当x∈（1，2］时，f（x）=（x-1）+（2-x）+…+（19-x）=-1+2+3+…+19-17x.

当x∈（2，3］时，f（x）=（x-1）+（x-2）+…+（19-x）=-1-2+3+…+19-15x.

……

当x∈（9，10］时，f（x）=（x-1）+（x-2）+…（x-9）+（10-x）+…+（19-x）=-1-2-3-…-9+10+…+19-x.

当x∈（10，11］时，f（x）=（x-1）+（x-2）+…+（x-9）+（x-10）+（11-x）+…+（19-x）=-1-2-3-…-9-10+11+…+19+x

……

当x∈（19，+∞）时，f（x）=（x-1）+（x-2）+…+（x-19）=-1-2-3-…-19+19x.

可见，f（x）的图像为：两侧是向上无限伸展的射线，中间是首尾相连的线段，各段从左到右斜率依次增加.到x∈（9，10］时仍为减函数，而从x∈（10，11］时起为增函数，故f（x）在x=10时取最小值，f（10）=9+8+7+…+2+1+1+2+…+9=90.选C.

证明：（1）当n=2k-1（k∈N+）时，f（x）=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-a2k-2|+|x-a2k-1|a1

|x-a2|+|x-a2k-2|≥|（x-a2）+（a2k-2-x）|=a2k-2-a2，当且仅当x∈［a2，a2k-2］时取等号.

……

|x-ak-1|+|x-ak+1|≥|（x-ak-1）+（ak+1-x）|=ak+1-ak-1，当且仅当x∈［ak-1，ak+1］时取等号.

|x-ak|≥0，当且仅当x=ak时取等号.

由于ak∈［ak-1，ak+1］⊆［ak-2，ak+2］⊆…⊆［a2，a2k-2］⊆［a1，a2k-1］

从而当且仅当x=ak时上述各不等式同时取等号，所以f（ak）为最小值，其中

（2）当n=2k（k∈N+）时，f（x）=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-a2k-1|+|x-a2k|.

a1

|x-a1|+|x-a2k|≥|（x-a1）+（a2k-x）|=a2k-a1当且仅当x∈［a1，a2k］时取等号.

|x-a2|+|x-a2k-1|≥|（x-a2）+（a2k-1-x）|=a2k-1-a2，当且仅当x∈［a2，a2k-1］时取等号.

……

|x-ak|+|x-ak+1|≥|（x-ak）+（ak+1-x）|=ak+1-ak当且仅当x∈［ak，ak+1］时取等号.

由于［ak，ak+1］⊆［ak-1，ak+2］⊆…⊆［a2，a2k-1］⊆［a1，a2k］，

故当x=t∈［ak，ak+1］时，上述各不等式同时取等号，所以f（x）在x=t时取最小值，其中

引例2求f（x）=|x-1|+3|x-2|+4|x-3|+5|x-4|的最小值.

分析：f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-2|+|x-2|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-4|+|x-4|+|x-4|+|x-4|+|x-4|，共有1+3+4+5=13项，不妨设为

f（x）=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-a13|，其中a1=1，a2=a3=a4=2.

a5=a6=a7=a8=3，a9=a10=a11=a12=a13=4，并且中间项为|x-a7|，a7=3.

故f（x）的最小值为f（3）=2+3+5=10.

三、解决问题