“线段之和最短问题”初探

☉浙江省嵊州市开发区三塘中学 黄小芹

中考数学复习，最让老师头疼的是例题的选择与设计，如何让知识点在短短的45分钟内，让学生最大限度的掌握，是我们数学老师一直探索的课题.我觉得能对各种类型很好的归类总结，能帮助我们解决这一问题.线段之和最短问题在近几年的中考中频繁出现，学生碰到此类问题往往束手无策，针对此种情况，我把此类问题分成以下几种类型来解决.

一、一个动点两个定点

例1 有一小牧童，家住A地，每天他赶着牛群先到河边饮水，然后再到B地吃草，他发现了一条捷径，使牛群所走的路程最短.你会用数学思想解决这个实际问题吧，谁来解释.

评析：这一问题可能有不少学生很难一下子回答，所以我觉得教师可以提示学生，若河对岸有一草地B，牧童想赶着牛群直接过河去B处吃草，你知道捷径吗？那么学生很容

易想到两点间线段最短，直接把AB两点连一下即为最短路径.从而联想到要解决刚才这个问题的话，即要使得AC+CB最短，若B在河对岸的话那就可以解决，而要把B移到对岸就是要找B点关于河l的对称点B′，然后连接AB′，则AB′与l的交点C′即为使得路程最短的点，这样就解决了这一问题.

从而得到：解决一个动点两个定点型两线段距离最短的方法：转化为找其中一定点的对称点（对称轴为动点所在的直线），然后连接另一定点及对称点的线段长度为最短距离.此类应用相当的广泛，下面我们来看几个变式.

变式1：如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？

评析：这一变式就是一动点两定点求最短问题的直接应用，无非是把背景放到一个正方形中，运用例题的作图的方法，借助动点N所在的正方形对角线AC为对称轴，而B为D关于AC的对称点，连接BD与AC的交点为所求的使得DN+MN最小的点N，BM为它的最小值，就可求出BM=10.这一变式中还可以改为P为AD上一点，AP=6，N仍为AC上一动点，则△PMN的周长的最小值是多少？△PMN的周长即为PM+MN+PN，PM为定值，要使周长最小，即为MN+PN最小.如图3，只需找出P关于对称轴AC的对称点P′，连接P′M交AC于点N′，此时△PMN的周长最小，最小值为此题还可以把AP=6和DM=2变成AP+CM=12，求MN+PN最小值，这样就增加了一些难度，应该看出P′G=AP′+CM-AB=4，从而可解得最小值为线段MP′的长.

类似的变式还可以存在于等腰三角形、菱形、等腰梯形、抛物线、圆等轴对称图形中.

变式2：如图4所示，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，试确定点F的位置，使△BEF的周长最小，最小值是多少？

变式3：如图5，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值.（答案：

变式4：如图6，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=60°，AD=DC，BC=6，点N在BC上，CN=2，在AC上找一点M使△BMN的周长最小，求出周长的最小值.

变式5：已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A、B、C三点.（1）求此抛物线的解析式和对称轴.（2）若一个动点M自P出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长.（3）若一个动点M自P出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长.

评析：此题的第二题为上面讲的两动点一定点型求最小值，而第三题的情形属于下面我讲到的两动点两定点型.

二、一个定点两个动点

此种题型又可以分为几类，下面我从三方面来分析.

例2 如图7，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

评析：△PQR周长即为PQ+PR+QR的长，三条线段之和最短，没有一条线段的长度是固定的，而且这涉及到三个点，一个定点，两个动点，要解决这一问题，可结合科学中光路最短原理，找出P关于OA、OB的对称点P1和P2，然后连接P1、P2与OA、OB分别交于点Q、R，些时△PQR周长的周长最小，为线段P1P2的长，根据对称性可知∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠P2OB，由此∠P1OP2=90°，△P1OP2为等腰直角三角形，从而得△PQR的最小周长为

总结：当碰到一个定点两个动点，能找到两条对称轴的且涉及到三线段之和最小时，我们可以作出定点关于这两条对称轴的对称点（对称轴为两动点所在的直线），然后连接这两个对称点的线段为三线段之和的最短值.

例3 如图8，矩形ABCD中，AB=20，BF=10，若AC、AB上各有一个动点M、N，求BM+MN的最小值.

图8

评析：本题的解题思路是B为定点，所以首先得作出B关于AC的对称点B′，即求折线B′M+MN的最小值很显然B′、M、N三点在一条线段上且这条线段与AB垂直时的长度最小，所以作B′N′⊥AB，BM+MN的最小值为B′N′的长度，最小值为16.所以当碰到一个定点两个动点，但不能找到两条对称轴的情况下，我们可以找定点的一个对称点，然后向另一动点所在直线作垂直，该垂线段的长度即为要求的两线段的最短距离.

图9

例4 （2009年绍兴中考题24题）：定义一种变换，平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A.设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是A关于直线BD的对称点.（3）若，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和直线AD的距离之和的最小值.

三、两个定点两个动点

图10

例5 如图10，平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，请找出点C，D的位置，使四边形ABDC的周长最短.

评析：四边形ABDC的周长为AB+BD+CD+AC，而AB和CD为定值，求周长最短实际就是求AC+BD最小，这里涉及到两个动点两个定点，而动点C一但确定，则另一动点D也随之确定，因为它们的距离是3固定不变的，所以，我们

可以把CA沿C到D的方向平移3个单位长度到DA′处，这时就转化为求BD+A′D的最小值，即两个定点一个动点求最小值，如图A″B为BD+A′D的最小值，从而求得C（1.25，0）D（4.25，0）.

如2010年天津市中考第25题：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.此题的方法完全跟刚才所说的类似.（答案：（1）E（1，0）；

概括：两个动点两个定点：通过平移，使两动点合二为一，转化为一动点两定点型解决.