如何解决几何动点型问题

☉江苏省盱眙县第二中学 庄亿农

如何解决几何动点型问题

☉江苏省盱眙县第二中学 庄亿农

动点型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系进行研究考查.常见的动点型问题有单动点型和多动点型两类.当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.

图1

一、单动点型

例1 已知，如图1，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒.

（1）求直线BC的解析式.

（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的？

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.

当动点P在线段BD上运动时，即18≤t＜23时（可以用勾股定理求出BD=5），△OPD的面积S=S△OPC－S△OCD=－1.6t+36.8.

点评：这是一道以直角坐标系为载体，通过一个动点在直角梯形边上的运动，构成面积与图形的形状问题，主要考查了矩形的性质、勾股定理等有关知识.

二、双动点型

例2 如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动.

（1）求梯形ABCD的面积.

（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于多少秒？

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？

图2

图3

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：

图4

图5

点评：解有两个动点的运动型问题，先弄清楚两个动点各自运动的出发点、路线、终点以及运动的速度和时间，然后在假设两个动点在某处不动的情况下，对图形进行分析与探究，利用所学数学知识求解.