高考数学创新型问题应对策略

☉江苏省泰州市民兴实验中学 季锦成

高考数学创新型问题应对策略

☉江苏省泰州市民兴实验中学 季锦成

所谓创新型问题，就是在常规题的基础上，要么给出新的定义，要么将有关信息进行迁移，甚至针对某一问题开展研究性学习，而产生的一些“一反常态”的新颖问题.其主要特征有：结构形式新、问题情景新、表达形式新、思想方法新等.以下就谈谈自己的实践与思考.

一、创新型数学问题常见题型及解题策略

1.新概念、信息迁移型问题

新概念题型多取材于高等数学和其他学科知识领域，采用定义的形式设计阅读理解型试题.此类试题主要考查同学们的自学能力、阅读理解能力和应用数学知识的能力.此类问题指的是题目中给出一些新信息，解答时，需先理解新信息，然后直接运用新信息解决问题，或把问题迁移到已有的知识体系中，利用已掌握的知识和方法去解决问题.

此类题的解答策略为先化“新”为“旧”，再以“旧”攻“新”，即在充分理解新概念的基础上，寻求它们和现有知识间的联系，把新问题从一定程度上转化为旧问题，从旧知识中寻求解答新问题的突破口.

例1 若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为0的实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0，则称向量a1，a2，…，an为线性相关，否则为线性无关.依此规定，能说明a1=（1，0），a2=（1，-1），a3=（2，2）线性相关的实数λ1，λ2，…，λn依次可以取_______（这样的值可能有无穷多个，只要写出一组即可）.

解析：本题实质上是规定了一种新的概念，可以通过观察得出，也可通过解不定方程求出，而解方程组是解决此类题目的一般方法.由于平面向量的运算是一种二元运算，而本题含有三个变量，因此答案不唯一.

由题意可得λ（11，0）+λ（21，-1）+λ（32，2）=0，解得λ1+λ2+2λ3=0，且-λ+2λ=0.解得λ=-2λ且λ=λ（λ 为不为0的实数），所

2312322以取λ2=-2，即可得到题中的一组解：λ1=4，λ2=-2，λ3=-1.只要给λ2取一个非零的实数，就可以得到符合题意的一个解.因此，本题有无数个解.

2.“新运算”型问题

新定义新运算型题是由一些新定义的运算符号而导出的一种运算.新定义的运算符号，如¤、⊕、△、☆、◎等.这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的.解答此类题目的关键是理解新运算的定义，严格按照新定义的式子代入数值（或数式），把定义的新运算转化成我们所熟悉的运算.

例2 对向量a=（x1，y1）和b=（x2，y2）定义一种新的运算“☆”：a☆b=（x1y2，x2y1）仍是一个向量，则对任意的向量a、b、c和任意的实数λ、μ有下列命题：①a☆b=b☆a；②（a☆b）☆c=a☆（b☆c）；③（λa）☆（μb）=λμ（a☆b）；④（a+b）☆c=a☆c+b☆c.其中正确的命题序号为__________.

解析：本题以向量为背景，定义了一个向量运算的新的运算.求解本题的关键是要正确理解新运算的实质并且能够灵活运用.

3.探索型问题常见题型

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，可分为条件开放型、结论开放型等.此类题目的条件或结论不完备，要求学生自己去探求，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对同学们的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，因此倍受高考命题者的青睐.

此类题目的特点是在给定的条件下探索结论或条件的多样性，它强调的是探索思路的灵活性，体现了“数学是训练思维的体操”的价值.

二、创新型、探索型问题复习建议及预测

创新、探索型问题主要考查学生运用所学知识进行创新和探索的能力，只是新在外表和形式，其实是外强中干，考查的还是旧知识.鉴于此，在复习时，要强化对概念的理解与运用、强化公式的变形与活用、强化对定理条件的把握、强化求异思维与创新思维.

要注意对创新能力、探索能力的培养，当面对某个知识点或问题时，要经常有意识地思考：这个知识点较易和哪些知识点交汇、这个知识点可以怎样创新考查、这个问题有没有新颖的呈现方式等.以此为基础对常规创新、探索型题要注意总结，形成对它们的数学知觉.

总之，创新题本身并不一定难，而是难在题目的新颖上.“高等数学初等化”是命制创新题的常用命题思路.在考前，要求学生用两三节课集中浏览近几年的创新题，并进行适当的典型探究，摸索出通性和通法，则再次遇到此类题时就不再发怵，考试时就会有成效.