解析几何中对称问题的认识与探索

☉湖北省当阳市河溶高级中学 刘 勇

解析几何中对称问题的认识与探索

☉湖北省当阳市河溶高级中学 刘 勇

对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，曲线关于点对称，曲线关于直线对称几个方面.下面我们举例说明.

一、点关于点对称

点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.

例1 设点M（2，4），求点M关于点P（-1，2）对称的点N的坐标.

分析：P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），则N（2x0-x1，2y0-y1）.

解：点M（2，4），点P（-1，2），由中点坐标公式可得N（-4，0）.

二、直线关于点对称

直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.

例2 求直线2x+5y+6=0关于点（2，3）对称的直线方程.

分析：可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.

解：设对称直线方程为：2x+5y+c=0.在直线上取任意一点（-3，0），则（-3，0）关于点（2，3）的对称点的坐标为（7，6）.将点（7，6）代入方程2x+5y+c=0，得c=-44.故所求直线方程为：2x+5y-44=0.

三、点关于直线对称

在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A（x0，y0），已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.只有抓住以上两点并且能够熟练运用才能解决此类题目.直线y=kx+b必垂直平分线段AB，线段AB的中点在直线y=kx+b上，再根据两直线垂直的关系：斜率的乘积等于-1，即可求出对称点坐标.

例3 求点P（-1，2）关于直线l：2x+y+1=0的对称点P′的坐标.

分析：本题关键是抓住“垂直”、“中点”这两点.

三、直线关于直线对称

直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.

例4 求直线m：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0的对称直线n的方程.

分析：先求出直线2x+y-4=0和直线3x+4y-1=0的交点，再从直线2x+y-4=0上取一个特殊点，求出它关于直线l：3x+4y-1=0的对称点即可.

化简可得2x+11y+16=0.

四、曲线关于点、关于直线对称

对于曲线关于直线对称，我们通常采用的方法是在曲线上取一个任意点，用这点来表示直线的对称点坐标，再根据点在曲线上，我们可以求出对称曲线的方程.曲线关于点对称，我们也可以采用同样的方法.这里不加以举例.

例5 求曲线x2-y2=1关于直线x-y+2=0的对称曲线.

分析：在曲线x2-y2=1上取任意一点P（x0，y0），把点P关于x-y+2=0的对称点Q用点P表示，再代入曲线方程即可.

解：设曲线x2-y2=1上任意一点P（x0，y0），P点关于x-y+2=0的对称点为Q（x，y）.

总之，对称问题是高中数学的一个重要知识点，它涉及的知识领域广，题型多.我们解决此类问题，首先是要把握对称问题的实质，分清题型，选准方法，这样才能达到事半功倍的效果.