巧用能量图解题

李进军

（唐山市滦南县第一中学，河北 唐山 063500）

1 什么是能量图

力学中的能量图就是物体的动能、势能或机械能随空间坐标变化的图像.若分别以Ek、Ep、E表示物体的动能、势能和机械能，以x表示物体直线运动的位置坐标，则能量图即为Ek－x图、Ep－x图和E－x图.若x与时间t有函数关系，则可分别有Ek－t图、Ep－t图和E－t图.本文中只涉及直线运动中能量随坐标变化的情况.

例如以初速v0将一质量为m的物体竖直上抛.以抛出点O为x轴原点，取向上为x轴的正方向，并以其O点为零势能点.在不计空气阻力的情况下，其动能Ek随坐标x变化的函数关系为其重力势能随坐标x变化的函数关系为Ep＝mgx.机械能为因为只有重力对物体做功，机械能是守恒的.依照以上3种能量与坐标的函数关系式，画出能量图如图1所示，图中对应于Ek＝0的坐标xm为物体竖直上抛的最高点.由功能关系知，Ek－x图的斜率大小为物体所受合外力大小，斜率为负表示随x的增大（或减小）动能相应减小（或增大）.Ep－x图的斜率大小表示引起势能的那个力（即重力）的大小，斜率为正表示随x的增大（或减小），势能也增大（或减小）.E－x 图的斜率大 小表示除引起势能以外的力的合力大小.本例中，因除重力外，再无其他力作用于物体，则E－x图的斜率为0.有些过程中，能量图可能是曲线，在这些曲线的斜率为0处，表示做功用来改变相应能量的那个力在此处变为0.

2 利用能量图解题

与那些物理量随时间变化的图像相比，学生刚接受能量图可能会感到抽象.一是因为能量图一般不反映过程发生的时间先后，只反映过程被限定的空间范围.一幅能量图可能表示多个物理过程，尤其是在机械能守恒的过程中，无论物理过程是朝向x增大还是x减小的方向进行，能量图都是相同的.二是因为势能Ep是个只具相对意义的标量，其大小与零势能位置的选择有关，其正负表示的是相对零势位置的高低.

能量图把物理量间的关系几何化了，这样就便于运用几何知识处理物体运动的空间边界值问题.在解题实践中，注重经常性地做有关能量图的看图、画图和用图练习，其简明性、直观性会激起大家的兴趣.

图1

例1.滑块以速度v1靠惯性沿固定斜面由斜面底端向上运动，当它回到出发点时速度变为v2，且v2＜v1.若滑块向上运动的位移中点为A，取斜面底端重力势能为0.则

（A）上升时机械能减少，下降时机械能增加.

（B）上升时机械能减少，下降时机械能也减少.

（C）上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方.

（D）上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方.

图2

图3

解析：设斜面倾角为θ，斜面对滑块的摩擦力的大小为Ff，沿斜面向上建立直线坐标系，如图2所示.则滑块沿斜面上滑过程中，机械能的表达式为重力势能的表达式为Ep＝mgxsinθ.在图3所示的坐标系中做出E－x和Ep－x两条直线，则两图交点C的横坐标表示物体在斜面上能达到的最大位移，两线实线部分之间的竖直实线的长度表示该坐标下滑块的动能，A表示最大位移的中点.现在的问题是：在A处，EkA对应于竖直线的长度，EpA对应于竖直线的长度.二者并不相等.显然，Ek＝Ep的点应在A点的右侧.即上升过程中动能和势能相等的位置应在A点上方.（C）选项正确.

例2.一物体从固定斜面底端以初动能Ek0沿斜面上滑，达最高点后又返回斜面底端，此时物体的动能是若此物体在斜面底端的初动能改为2Ek0，求物体返回斜面底端时的动能将变为多少？

解析：取斜面底端为x轴原点，同时也是重力势能零点，x轴方向沿斜面向上.设物体的质量为m，物体在斜面上受摩擦力大小为Ff，斜面的倾角为θ.

初动能为Ek0时，物体沿斜面上滑过程中机械能与x的关系式为E＝Ek0－Ffx.初动能为2Ek0时，物体沿斜面上滑过程中机械能与x的关系式为E′＝2Ek0－Ffx.两式的斜率相同，图像为平行直线，只是截距不同.两种情况下物体滑回原点过程中机械能随x变化的斜率大小均不变.且无论初动能大小如何，也不论物体沿斜面是上滑还是下滑，重力势能与x的关系式均为Ep＝mgxsinθ.

图4

首先画出共同的Ep－x图像.由于初动能为Ek0时，物体返回x＝0处的动能为且上滑和下滑两过程中的E－x图像的斜率大小相等.很容易画出上滑和返回过程的E－x图，即C—D—F线.当初动能改为2Ek0时，上滑过程中的E－x图像与CD平行，即图中的AB线.现在我们要回答的问题是：返回过程中的E－x图应该由B点回到纵轴上的哪点呢？现假设要回到G点（图中未画出）.由几何关系知，△ABO∽△CDO，相似比为2∶1，则AB∶CD＝2∶1，并且△ABG∽△CDF，相似比也等于2∶1.可知AG∶CF＝2∶1.因必有AG＝Ek0.可见，G点其实就应该是C点.G点对应的机械能全部为动能.所以本题答案是：物体返回斜面底端时的动能将变为Ek0.

例3.甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，两分子系统的分子势能曲线如图5所示，a、b、c、d为x轴上4个特定位置，现把乙分子从a处由静止释放，则

（A）乙分子能由a运动到b点，且一直做加速运动.

（B）乙分子能由a运动到c点，且一直做加速运动.

（C）乙分子能由a运动到c点，且先做加速运动，后做减速运动.

（D）乙分子能由a运动到d点，且先做加速运动，后做减速运动.

解析：将乙分子从a点由静止释放时，系统有负的分子势能，动能为0.动能和分子势能的总和（以下称总能量）就等于此时的分子势能Epa.在乙分子向左运动的过程中，由于总能量守恒，有E＝Epa.所以E－x图是平行x轴的直线，如图6所示.E－x图与Ep－x图的两个交点e、f代表乙分子运动范围的两个边界点.假如超出e、f之间的范围，动能Ek＝E－Ep＝Epa－Ep＜0，这是不可能的.所以只有（A）选项正确.

图5

图6

例4.图7表示一物体从x＝x1开始，在x轴上运动的总能量E－x图和势能Ep－x图，其中E1和E2表示小大不同的两个守恒的总能量.Ep－x图以x轴为渐近线，试分别指出总能量各为E1和E2时，物体运动的情形.

图7

解析：由Ep－x图可知，势能Ep随x的增大逐渐增大到0，由于变化率随x的增大先增大后减小，所以仅有的、对物体做功的力随x的增大先增大后减小.当总能量为E1时，由E1－x图和Ep－x图之间的竖直线代表的动能可知，在x＝x1处物体的初动能不为0，但初速度方向可能沿＋x方向，也可能沿－x方向.如果沿＋x方向，则物体做变减速直线运动，在x＝x2时速度减为0，然后沿－x方向做变加速直线运动.如果沿－x方向，则物体做变加速直线运动.

当总能量为E2时，物体从x＝x1处开始运动的初动能比第一种情况大很多.初速度方向也有＋x方向和－x方向两种可能.不同的是E2－x图与Ep－x图没有交点.即初速度沿＋x方向时，物体的速度永远不能减为0，物体将先做变减速直线运动，最终做匀速直线运动.如果初速度方向沿－x方向，则物体做变加速直线运动.

3 小结

（1）利用能量图解题时，要特别注意找出图像对应的函数关系式.并弄清其截距、斜率、正负所表示的物理意义，这是正确解题的基础.

（2）在作能量图时，只需画出E－x图和Ep－x图，而动能Ek＝E－Ep，则由E－x图和Ep－x图之间的竖直线的长短来体现.

（3）若E－x图和Ep－x图有交点，则表示物体运动空间有边界.

（4）无论动能和势能的总和是否守恒，Ek＝E－Ep总是成立的.但应注意动能不能为负值.

（5）能量图不表示过程发生的时间顺序.如题意没有明确初态，则应把同一组能量图对应的多种物理情景分别加以讨论.

利用能量图解题的方法和步骤，用文字叙述起来似乎也并不那么简洁，但实际操作起来，寥寥数笔就能解决问题，值得一试.