“用方程解决问题”起始教学的策略和细节处理

用方程解决问题的学习主要包括两个步骤：一是列方程，就是针对某些问题，从分析数量间的相等关系入手，通过设元建立方程；二是解方程，就是运用等式的性质，使问题得到解决。用方程解决问题与之前学生熟知的算术方法解决问题，在思维方式上有很大区别。对于作为初学者的学生来讲，笔者认为，我们首先要规范“用方程解决问题”的基本思路；其次要让学生体会到“用方程解决问题”的优越性；最后，要求学生严格按等式性质作为依据解方程。从而使学生在起始教学阶段，就能深刻地体会到用方程解决逆向思维问题的优越性，并形成正确的“用方程解决问题”的基本思路。

一、渗透建模思想，规范“用方程解决问题”的基本思路

小学生（五年级）在初次接触一个实际问题到最终建立方程（即建模）的过程中，一般要经过如下几个环节：（1）用自己的语言或思维描述数学问题；（2）抽象成用数学语言或思维表达数学问题；（3）用数学符号（代数思想）建立方程（建模）。

我们解决上述“稍复杂的方程”教学时安排了这样几项学习活动。

1.审清题目

审题、找关键词句都很容易，学生很快就找出了“白色皮比黑色皮的2倍少4块”。但是，题目审完之后是否就真正理解题意了呢？找到关键词句后又是否能从中找出数量间的相等关系呢？学生能不能把题目中抽象的数学语言化为自身的具体的自然语言呢？

带着这些思考，我们在教学时组织学生根据题目意思自己来设计语言表述。学生中一时产生了诸多不同表述。如：黑色皮的2倍少4块是白色皮；白色皮加4块等于黑色皮的2倍；黑色皮的2倍减去4块等于白色皮；黑色皮的2倍减去白色皮等于4块……

对于这些不同表述，我们选择了画线段图，并从中让学生体会、感悟和发现：不同的表述方式描述同一件事，都可以形成一个等式。

找数量关系是根据题意列方程的关键。有些数学问题数量关系复杂，学生一时不易找出隐含的数量关系，以至列不出方程。因此找题中的数量关系应在教学中引起高度重视。训练找数量关系，可以从数量关系比较明显的问题开始，再过渡到数量关系较复杂的问题。可以组织学生找数量关系的专项练习，例如：

今年比去年长高了8厘米。

第一根比第二根短3米。

苹果树是梨树的2倍。

把这些关键语句翻译成等式。比如出示“今年比去年长高了8厘米”，学生翻译成：今年-去年=8厘米，去年+8厘米=今年，今年-8厘米=去年。……

通过基本训练，使学生熟练掌握找出题目中数量关系式的技能。

2.画线段图

要让学生充分参与“线段图”的形成过程，采用师生合作学习为主的策略。直观的线段图可以帮助学生进行思维，通过线段图解决问题。结合学生讨论，教师逐步呈现一幅“半成品”——用一条线段表示黑色皮的块数（如图1），然后提示学生根据线段图上的内容（问题、描述性的话、线段）找出表示黑色皮和白色皮之间相等关系的句子，让学生充分理解，讨论并画出白色皮的线段图（如图2），再根据图或文字找出数量关系等式。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐含的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，可借助线段图找数量关系。如：“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋大米的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？”根据题意，可以画出下面的线段图。

从图中很容易得出：甲袋重量-乙袋重量=5千克。

3.列出方程

这时我们可以放手让学生自己尝试着去完成，有的学生列出了2x-20=4的方程，有的学生则列出了2x-4=20的方程，还有的学生列出了20+4=2x的方程式。学生列好方程后，引导学生讨论列方程式中每一步的含义，并得出“因为方程式左右两边数量关系相等，所以这个方程正确”，进而突出“方程主要是说明两事物等价”的本质特征。

列方程的实质是把题中的“生活语言”转化为“代数语言”，即把文字数量关系式用已知数与未知数代入得到方程。教学时，要鼓励学生根据不同的数量关系式列出不同的方程，然后加以比较，找出比较好的解法，以提高学生灵活运用方程解决实际问题的能力。

小学中的实际问题并不复杂，一般直接设未知数，即求什么设什么。有时也需间接设未知数，即设与要求的问题紧密相关的中间问题为x。设好未知数后，有时要根据数量关系写出某些代数式，这也是列方程中的重要一环，值得注意的是：根据某一数量关系建立起代数式，就不能再根据这一数量关系列方程，否则会出现恒等式，而不是我们要求的方程。

4.解方程

在解方程之前，因为出现了三个方程：2x-20=4，2x-4=20，20+4=2x，我们先组织学生讨论自己的解题思路，试着让学生上台板演。通过比较分析，学生发现前两个方程解题思路相似，第3个方程在完成左边计算之后要利用等式两边相等的关系进行交换。最后再请3个学生对3个方程分别进行验算。

小学生开始只会解含有一个未知数的方程，慢慢地会解两问，也就是两个未知数。例如：岗上果园有梨树和枣树共190棵，枣树是梨树的4倍。梨树和枣树各有多少棵？分析：这道题有两个未知数。可以先设其中一个未知数为x，根据题意列方程解答，然后再求出另一个未知数。

这道题启发我们：用一个未知数表示另一个未知数是有效的办法，也是用方程解这类题的总思想。在总思想下具体分三步走：

（1）首先从条件中找到两个等量关系。

（2）选其中一个等量关系用来实现一个未知数表示另外一个未知数。

（3）用另一个等量关系列方程。

在三步走的思考下有了下面的四个方程：

A.设梨树为x棵，那么枣树是（190-x）棵 190-x=4x

B.设枣树为x棵，那么梨树为（190-x）棵 x=（190-x）×4

C.设梨树为x棵，那么枣树为4x棵 x+4x=190

D.设枣树为x棵，那么梨树为（x÷4）棵 x+（x÷4）=190

C方程最好，因为在C方程中没有减法也没有除法，计算最简便。能加能减，宁加不减；能乘能除，宁乘不除。解法C既没有减法也没有除法，是最好的解法。

二、自主解决问题，体会“用方程解决问题”的优越性

方程解决问题的优势在于降低思维难度。如果我们呈现的问题并不能让学生有这样的体验甚至让学生感到更困难，那我们便是在故意刁难，从而降低学生学习的积极性，更失去了方程教学的意义和价值。

在实际教学中，我们首先通过选择典型例题分别用算术法和方程法进行分析解答，体会这两种表达方式的不同，表现形式不同，解题思路也不同。让学生体会方程解法更有一定的优势，对他们进行方程思想的渗透。

下面以教材第76页第8题的教学为例，请学生分别用算术法与方程法分别解决这一问题，并反馈总结得到以下思路：

上题解法一中算式的得出是从要求的数值反推回去，是逆向思维，它要求确定倍数，找出倍数相对应的量，然后相除得出倍数的值，这样难于思考。而解法二是把未知数当作已知条件，根据条件的描述找出等量关系，是由果索因的分析法，是正向思维，便于思考，易于列出关系式，体现出代数方程解法的优越性。

我们在教学列方程解决问题以后，有些问题尝试让学生分别用算术方法和方程方法来解，学生在用算术法时会遇到困难，这时就可以体现方程的优势。如，通过比较利用梯形面积公式列方程求高和直接列算式求高，就能让学生体验到算术方法需要逆向思维，每一步都要进行具体分析并给出合理的解释，难度大且易错，而一旦将未知量用字母表示并和已知数一起参加运算，就很容易建立方程，逆向思维的过程被解方程的程式化演算所替代。

学生经过一段时间的训练，慢慢克服了算术解法的思维定式的影响，促使学生迅速适应方程的解法。通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同，并能根据题目不同特点，灵活选择解法。一般来说，顺向思维的题宜用算术解法；逆向思维的题宜用方程解法。

当然，要让学生领会方程的优越性，不能就题论题，而应当从方程的视角抓住传统中众多类型应用题的本质，以实质上具有同类数量关系的问题为主线，突出相应的解法要点，达到触类旁通，体验方程思想和价值的目的。如用算术方法解题时学生比较畏惧的“黄豆榨油”问题及作为奥数内容的“鸡兔同笼”等问题，通过列方程（比例式）方便地解决更能让学生体会到方程的必要性和优越性，从而对方程思想达到更深层次的认识。当然，这种深层次的认识并非单元教学需要达成的目标，而是应当作为长期目标有意识地渗透在平时的教学实践中，毕竟方程思想的建立是一个长期的不断深化的过程。

三、发挥首映效应，突出“等式的基本性质”作为解方程的依据

为了统一解方程的思路，发挥先入为主的作用，在解方程之初就引导学生用等式的基本性质作为解方程的依据，直接避免四则运算的解题思路。

例如：在教学课本第58页例1时，我们做了如下设计。

师出示场景图：

师：你能根据图列出方程吗？（板书：x+3=9）

师出示天平图：

师：仔细观察这两个图，能说说这两个图之间的联系吗？

生：天平左边的x表示的是大盒子，三块小正方体表示的是三个球，右边的9个小正方体表示的是上面总共为9个。

师：怎么样解这个方程呢？你有什么办法？把你的办法先和小组里的同学交流。

学生交流后，教师用课件将天平图做如下动态演示，并板书解方程的过程。

教学过程中，从图例到天平，让学生在求解的过程中进行数学模型的变换，进一步体会“相等关系”。“天平”的出现为处理方程提供了一个强有力的智力图像，用天平平衡的道理，直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解，帮助学生建立如下规则：在等式的两边进行相同运算的同时，平衡也得到了维持。同时，用天平的动态演示，引出解方程的步骤，可以直接避免学生出现不同的解题思路。

总之，用方程解决问题，是解决较复杂问题的重要手段。在小学，人教版五年级开始学习解方程，之后到六年级的分数除法和正反比例应用题时，又根据需要学习用方程解决问题。实践证明：方程是学生未来学习的主要方向。在小学数学五年级“用方程解决问题”起始教学中做好一些准备，就能为日后初中学习一元一次方程做好铺垫，实现小学到初中的自然过渡。

（作者单位 俞立刚：浙江省杭州市萧山区楼塔中心小学 邵汉民：浙江省杭州市萧山区教研室）