考虑裂纹表面摩擦阻尼的振动疲劳裂纹扩展分析

刘文光，陈国平

(1.南京航空航天大学 飞行器结构力学与控制教育部重点实验室，南京 210016;2.南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330036)

工程实践中，裂纹梁的振动问题一直受到广泛的重视。结构裂纹根据其运动特征可分为张开式裂纹和呼吸式裂纹。长期以来，人们在分析裂纹结构的振动特性时，通常假定裂纹始终处于张开状态。譬如Papadopoulos等［1］、Chondros等［2］在研究裂纹扩展对结构振动的影响时，都假定裂纹为张开状态。实际上裂纹受到压力时，裂纹将处于闭合状态。所以，裂纹结构受到振动激励作用，仍然采用张开式裂纹不符合实际情况。后来，Chondros等［3］、Abraham 和 Brandon［4］、Cheng等［5］、杜彦卫等［6］、杨海燕等［7］提出多种不同的呼吸式裂纹模型。与张开式裂纹模型相比，呼吸式裂纹可以更加客观地描述裂纹结构的振动行为和疲劳裂纹扩展现象。

长期处于振动激励下，结构裂纹可能扩展并导致结构动力学特性发生改变;尤其在共振激励下，即使很小的激励也会产生较大振幅的动响应，并导致结构振动疲劳问题。对此，国内外学者对裂纹结构的振动疲劳相关问题开展了一系列研究。诸如，Dentsoras和Dimarogonas［8］研究了共振时激励频率和结构阻尼对裂纹梁疲劳裂纹扩展寿命的影响。刘文光［9］研究了轴向共振控制的结构疲劳裂纹扩展寿命。然而，上述文献在分析结构共振疲劳寿命时，没有考虑结构裂纹表面摩擦引起的能量耗散。实际上，能量耗散容易产生摩擦阻尼，该特性对裂纹梁的振动疲劳裂纹扩展具有重要作用，尤其是共振疲劳时阻尼效应非常明显。然迄今为止，该方面的研究报导极少。

为了考虑摩擦阻尼对疲劳裂纹扩展的影响，本文基于Coulomb模型和能量耗散理论推导裂纹表面摩擦阻尼损耗因子，利用广义Forman方程模拟疲劳裂纹扩展，讨论摩擦阻尼变化对疲劳裂纹扩展的影响，进一步提高振动疲劳裂纹扩展分析精度。

1 呼吸裂纹梁的振动模型

考虑图1所示的含表面裂纹悬臂梁，其几何尺寸为:长L、宽b、高h、裂纹深度为a;裂纹位置与固支端的距离为xc。定义ζ=a/h为相对裂纹深度。

图1 裂纹梁振动模型(均质、各向同性)Fig.1 Cracked cantilever beam(homogeneous，isotropic)

为了利用连续体动力学理论分析裂纹结构，需要对结构裂纹进行简化。考虑裂纹的闭合效应，采用一种新的呼吸式裂纹模型。与文献［3-7］中使用的呼吸裂纹模型不同，它采用双线性弹簧模型模拟结构裂纹的呼吸行为，图2为呼吸裂纹梁的简化模型。

图2 呼吸裂纹梁简化振动模型Fig.2 Simplified model of breathing cracked beam

呼吸裂纹梁的刚度是由张开裂纹刚度和闭合裂纹刚度组合而成，刚度表达式为:

式中:kbr为呼吸式裂纹刚度;ko为张开式裂纹刚度;kc为闭合式裂纹刚度。当 ωt=2nπ，(n=1，2，3…)时，裂纹完全闭合，等效为无裂纹，则kbr=kc，即闭合裂纹刚度可用无裂纹结构刚度计算，即用后面的广义刚度k*代替。ωt=(2n-1)π，(n=1，2，3…)时，裂纹完全张开，则kbr=ko。因此，为计算呼吸裂纹刚度，需先计算出张开式裂纹刚度与闭合式裂纹刚度。

忽略横向载荷引起的剪切效应，张开式裂纹的刚度可用以下方程近似表示［10］:

式中:kT为裂纹截面因局部柔度而产生的扭转刚度，kc为裂纹完全闭合时的刚度，ko为裂纹完全张开时的刚度。

2 振动分析

横向力激励下，连续梁的强迫弯曲振动方程为:

式中:E表示弹性模量;I为截面惯性距;c为阻尼系数;ρ为材料密度;A为横截面面积;F为横向激励力幅值;δ为Dirac函数;w为横向振动位移;x为坐标;t为时间;ω为外激励频率。

假设裂纹梁的横向固有振动形式表示如下:

式中:W(x)是梁横截面中性轴在x处的横向振动幅值函数，T(t)是描述运动规律的函数。

根据悬臂梁的边界条件，可得到振动幅值函数

式中:η =(cosλL+coshλL)/(sinλL+sinhλL)，其中 λL是方程1+coshλLcosλL=0的解。为简化分析，只考虑第一阶模态对疲劳破坏的影响。对应第1阶模态的λL=1.875 1。

将方程(5)代入方程(4)，运用Galerkin方法得到:

式中:k*为无裂纹时广义刚度，与kc相等;c*为广义阻尼;m*为广义质量;F*为广义力。其中:

将公式(6)中的k*用kbr代替，则得呼吸式裂纹梁的振动方程。

3 裂纹表面摩擦阻尼分析

振动过程中，结构裂纹由于不断地受到拉压作用使裂纹表面接触并产生相对滑动，接触面之间会产生干摩擦力，引起摩擦阻尼。

3.1 表面滑动摩擦模型

振动作用时，裂纹尖端因应力集中效应很快进入屈服阶段，使结构裂纹尖端材料断裂实现裂纹向前扩展，屈服现象的出现与最大切应力有关。对大多数低碳钢材料而言，拉伸时在与梁轴线成45°倾角的斜面上切应力为最大，所以表面磨光的试样屈服时表面将出现与轴线大致成45°倾角的条纹，如图3所示。

假定裂纹在扩展过程中沿直线往前扩展。按照裂纹尖端材料断裂时的屈服滑移情况，振动疲劳裂纹扩展时，在裂纹尖端表面会出现与轴线成45°倾角的滑移线，见图4。

图3 屈服滑移线Fig.3 Slip line resulted from yield

建立呼吸裂纹表面滑动摩擦模型之前，还需要引入一些假设使问题得以简化:

① 假设梁的振动幅值和振动响应是稳态的。

② 假定振动过程中，呼吸裂纹引起的能量损失仅由裂纹表面摩擦所造成。

③ 摩擦能量的消耗依据裂纹深度一半处接触点的摩擦力计算，且摩擦力符合Coulomb模型。

④ 假定摩擦能量的耗散产生于裂纹张开和闭合的振动一周内。

⑤ 假定变形状态时含裂纹和不含裂纹梁的整个位能储能是相等的。

⑥ 假定与振动频率无关的无应力自由表面，距离裂纹张开位置长度为3倍裂纹深度。

基于上述假设，可建立呼吸裂纹表面滑动摩擦模型，见图5。

3.2 摩擦阻尼损耗因子

根据胡克定律，振动激励时疲劳裂纹深度一半处接触点的正应力可表示为:

式中:w(x，t)是横向振动位移，在裂纹表面振动产生的正交作用力表示为:

式中:a为裂纹深度，b为梁截面宽度，h为梁高度，E为材料弹性模量。

正交作用力F0处在中性轴时的值为0，而且当它位于1/4循环时的绝对值最大，因此正交作用力的平均值为:

如图5所示，假定裂纹表面的摩擦系数为μ，则此摩擦力为:

综上公式，得到:

每一周内，裂纹表面接触摩擦包括张开过程和闭合过程两个阶段，所以由呼吸裂纹表面摩擦产生的能量耗散为:

式中:d为滑动摩擦力作用距离。

假设确定裂纹表面滑动距离的是无应力自由表面，裂纹张开位移在裂纹深度一半处，根据建立裂纹表面滑动摩擦模型时的假设和梁弯曲时的几何图6可求出:

图6 弯矩产生的张开裂纹Fig.6 Opening crack caused by moment

接近梁中性轴裂纹位置的曲率为:

由图5得到:

将上述方程综合可得到每周的摩擦能量耗散为:

为了计算等效阻尼损耗因子，还需要计算存储在裂纹梁之内的应变能，根据能量原理可推导得到矩形横截面梁变形期间所有应变能如下［11］:

式中:第1项为弯曲变形能，第2项为剪切变形能;M为弯矩、Q为剪切力、κ为剪力因子、G为剪切弹性模量、E为杨氏弹性模量、A为横截面积、I为截面惯性距。其中:

根据系统的损耗因子定义［12］

式中:Wf为一周内裂纹表面摩擦损耗能量，Vmax为振动一周内存储的最大位能。所以由呼吸裂纹表面摩擦产生的阻尼损耗因子为:

4 振动疲劳裂纹扩展分析

由于振动激励考虑了疲劳裂纹扩展引起的动态响应变化，使动应力幅值不断变化，所以不能直接采用常规的疲劳裂纹扩展方程，而需要采用振动分析与裂纹扩展计算交替进行的方法，考虑振动与疲劳的耦合作用。考虑裂纹闭合效应，采用广义的Forman方程模拟疲劳裂纹扩展。

4.1 广义Forman方程

使用Forman方程，对于任一恒定幅值激励，结构裂纹扩展增量为:

式中:Ni为裂纹扩展起始时对应的循环次数，Nf为裂纹扩展结束时对应的循环次数;ΔK为应力强度因子振幅，ΔK=Kmax-Kmin;Kmax为最大应力强度因子，Kmin为最小应力强度因子;ΔKth是应力强度因子门槛值;Kc是材料的断裂韧性;r是应力比;C、n、p、q是试验常数;Δa裂纹扩展增量;N是振动次数;f是裂纹张开函数。

裂纹张开函数f考虑裂纹闭合效应，表达式为:

式中:Kop是张开式裂纹的应力强度因子;其中:

β为平面应变约束系数;Smax/σ0为最大应力与应力流的比。

应力强度因子门槛值表达式为:

式中:ΔK0是r=0时的应力强度因子门槛值;ΔK0和a0被假定为常数。

工程实际表明，结构振动会引起裂纹扩展，而裂纹扩展反过来会改变结构振动特性，进而影响裂纹扩展行为，两者之间存在耦合关系。传统的疲劳裂纹扩展理论却忽略了这种耦合作用。为此，本文采用振动分析与裂纹扩展计算同步进行的方法考虑振动与疲劳的耦合效应，进一步提高疲劳寿命估算精度。

结构受到变振幅载荷的作用时，最终的裂纹深度可由叠加法计算，表示如下:

其中Δaj为第j阶段激励所产生的裂纹扩展量。

振动循环的增量为:

考虑到ΔNj很小，所以:

因此，第j阶段内振动次数为ΔNj时，对应的裂纹扩展量为Δaj近似为:

4.2 疲劳裂纹扩展失效判据

结构疲劳裂纹扩展达到一定条件后，结构会发生各种失效。分析时采用以下失效判据。

(1)判据1:如果裂纹扩展至粱的中面时，即裂纹深度达到梁高度的一半时，已不再适用应力强度因子进行疲劳寿命估算，则认为结构发生几何失效。

(2)判据2:如果结构裂纹的应力强度因子达到材料的断裂韧性时，即认为梁即将发生失稳断裂。

(3)判据3:如果结构裂纹位置的名义应力超过了材料的强度极限，则认为结构发生断裂失效。

4.3 算例

假设结构的尺寸为:L=0.3 m、b=0.002 m、h=0.02 m;裂纹位置:xc=0.15 m;材料是 304 不锈钢［13］，机械性能为:弹性模量E=204 GPa、泊松比 ν=0.33、密度 ρ=7 860 kg/m3、强度极限 σb=620 MPa、屈服强度σs=275.8 MPa;裂纹扩展试验常数为:C=6E-10、n=3、p=0.25、q=0.25、β =2.5、Smax/σ0=0.3;其它参数为:①材料断裂韧性KC=7 645 MPa·mm1/2、门槛值ΔKth=121.6 MPa·mm1/2;② 加载幅值为50 N，对称加载r=-1;③ 初始相对裂纹深度取ζ=0.1，计算步长为ΔN=1;④ 裂纹表面摩擦系数取μ=0.15。

图7表明，裂纹表面摩擦阻尼损耗因子随裂纹扩展单调递增。考虑摩擦阻尼的变化，结构共振疲劳裂纹扩展寿命明显增加;若忽略摩擦阻尼随裂纹扩展的变化，振动疲劳裂纹扩展曲线不连续，出现间断，这说明振动一次裂纹扩展增量较大，见图8所示。比较后发现，摩擦阻尼对振动疲劳裂纹扩展行为的影响不容忽视。所以振动疲劳分析时，使用呼吸裂纹摩擦模型相比呼吸裂纹模型理论更可行。

5 结论

以悬臂裂纹梁为对象，研究裂纹摩擦阻尼对疲劳裂纹扩展的影响。分析时，用双线性弹簧描述裂纹的呼吸行为，运用Galerkin法把呼吸裂纹梁简化为只考虑第一阶模态的单自由度振动系统;基于Coulomb摩擦模型和能量耗散理论，推导摩擦阻尼损耗因子;利用广义Forman方程模拟疲劳裂纹扩展;采用振动分析与疲劳裂纹扩展计算同步进行的方法考虑振动与疲劳之间的耦合效应。结果表明，摩擦阻尼随疲劳裂纹扩展单调递增，共振频带激励下摩擦阻尼对疲劳裂纹扩展具有重要作用，阻尼效应十分明显。

［1］Papadopoulos C A，Dimarogonas A D.Coupled longitudinal vibrations of a cracked shaft［J］.Journal of Vibration，Acoustics， Stress and Reliability in Design， 1988，110(1):1-8.

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［5］Cheng S M，Wu X J，Wallace W.Vibration response of a beam with a breathing crack［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，225(1):201-208.

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［9］刘文光，陈国平.轴向共振控制的结构疲劳裂纹扩展分析［J］.南京航空航天大学学报，2010，42(3):298-302.

［10］刘文光，陈国平.呼吸式裂纹梁的振动疲劳裂纹扩展耦合分析［J］.中国机械工程，2010，21(23):2798-2802.

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