对“运动的合成与分解”的理解与教学建议

王运淼

(北京市西城区教育研修学院 北京 100035)

多年来，高中《物理》教科书中在讲“平抛运动”之前，总是先介绍“运动的合成与分解”，然后再用这种方法研究平抛运动的规律．可是2007年以后的人教社课标教科书《物理·必修2》中却干干净净地删掉了“运动的合成与分解”这部分内容，这是为什么呢？另外，在研究“波的叠加”时，字里行间透露出来的是“波的独立传播原理”和“波的叠加原理”的内容．那么，“波的叠加原理”和“运动的合成与分解”之间又有什么关系呢？

1 “运动的合成与分解”和“波的叠加原理”

在高中《物理》教科书中介绍“运动的合成与分解”时，常常以船渡河或类似的实例、实验引入.

船渡河的运动可以看作是由两个分运动组成的．如图1所示，假如河水不流动，而船在静水中沿AB方向行驶，那么经过一段时间轮船将从A点运动到B点；假如船没有开动，而河水流动，那么船被河水冲向下游，经过相同一段时间，船将从A点运动到A′点；现在船在流动的河水中行驶，同时参与上述两个运动，经过这段时间将从A点运动到B′点．船从A点到B′点的运动，就是上述两个分运动的合运动．

图1

已知分运动求合运动，叫做运动的合成；反过来，已知合运动求分运动叫做运动的分解．

而后进一步指出，一些常见的曲线运动往往可以分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上的受力情况和运动情况，弄清楚作为分运动的直线运动的规律，就可以知道作为合运动的曲线运动的规律，这是研究曲线运动的基本方法．

在讲到“波的叠加”时，通过观察实验总结出：几列波相遇时能够保持各自的运动特征(频率、波长、振幅和振动方向)不变，继续传播，就像没有跟其他波相遇一样(这被称为波的独立传播原理)．在几列波相遇的区域里，介质中的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和(这个结论称为波的叠加原理).

质点运动问题中的“运动的合成与分解”和波动问题中的“波的叠加原理”都是描述运动的物理量，如位移、速度等在运动叠加时所服从的原理，具有理论上的一致性，不妨统称为“运动叠加原理”．

2 “运动叠加原理”的条件

在所有高中《物理》教科书中，对“波的叠加原理”成立的条件比较明确，这就是几列波相遇时保持各自的特征独立传播(波的独立传播原理)．多数高中《物理》教科书在介绍“运动的合成与分解”时指出，当物体同时参与多个分运动时，各个分运动的位移、速度、加速度遵守各自的力学规律，相互独立．

由此看来，“运动叠加原理”的条件是各个分运动相互独立进行．

不过，把一个比较复杂的运动分解为两个(或多个)分运动时，分运动是不是一定相互独立呢？下面，结合一些具体的实例看一看．

2.1 不计空气阻力的抛体运动

以“平抛运动”为例．在研究平抛运动规律时，可以把平抛运动分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动．这两个分运动是不是相互独立的呢？

如图2(a)所示，用小锤打击弹性金属片，A球水平飞出做平抛运动，B球被松开做自由落体运动．无论A球的初速度大小如何，也无论两球开始距地面的高度如何，A球总是与B球同时落地．图2(b)是一幅平抛物体与自由落体对比的频闪照片．

(a) (b)

图2所示的实验可以表明，水平方向的分运动与竖直方向的分运动互不影响，是相互独立的．平抛运动的动力学方程为

2.2 空气阻力与速度成线性关系的抛体运动

设质量为m的质点以速度v0水平抛出，运动过程中受到重力mg和空气阻力f=-kv作用，那么该质点运动的动力学方程为

(1)

如果将该运动分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动，那么

(2)

(3)

可见，方程(2)中没有vy，方程(3)中没有vx，也就是说，每个方向的方程都不包含另一个方向上的运动分量．那么，可以分别独立地解这两个微分方程，得到vx(t)和vy(t)，再通过积分就可以求得x(t)和y(t)．这说明水平方向的分运动与竖直方向的分运动互不影响，是相互独立的．

2.3 空气阻力大小与速度二次方成正比的抛体运动

如果将该运动分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动，那么

即

即

可见，每个方向的微分方程中都包含另一方向上的速度分量．这说明水平方向的分运动与竖直方向的分运动之间彼此关联，并不是独立的．

类似的运动还有质点在引力场中的运动，带电粒子在点电荷电场中的运动等．它们虽然可以分解为两个分运动，但是这两个分运动不是相互独立的，因而不能运用“运动叠加原理”求解．它们的共同点是动力学方程不是线性微分方程．

因此可以用归纳的方法得出一个结论：如果质点运动的动力学方程是线性微分方程，该运动就可以分解为两个(或多个)相互独立进行的分运动，从而可以运用“运动的叠加原理”求解．

可以证明，动力学方程为线性微分方程的振动系统，也可以运用“运动叠加原理”求解(振动的合成与分解)．波动是振动的传播，波函数u(x,t)满足偏微分方程，如果波动方程是线性偏微分方程，那么这样的几列波相遇是互不干扰的，可以运用“波的叠加原理”求解．

3 “运动的叠加原理”的速度合成与“相对运动”的速度合成

“相对运动”的速度合成解决的是质点相对于两个不同参考系(它们之间有相对运动)的速度之间的变换关系．

设参考系Ⅰ静止，参考系Ⅱ相对Ⅰ运动．质点相对静止参考系Ⅰ的运动叫做绝对运动，速度表示为v绝；质点相对运动参考系Ⅱ的运动叫做相对运动，速度表示为v相；运动参考系Ⅱ相对静止参考系Ⅰ的运动叫做牵连运动，速度表示为v牵．那么，“相对运动”的速度合成公式为v绝=v相+v牵．

“相对运动”的速度合成与“运动叠加原理”的速度合成是有区别的，前者是不同参考系间的速度变换关系，而后者是同一参考系(在中学阶段，凡没有说明参考系的，都默认为是以地面为参考系)中的速度合成关系．它们的含义不同，适用范围也不同．“运动叠加原理”的速度合成公式是在同一个参考系中由矢量合成的平行四边形定则推出，从速度很小到速度v→c的广大范围内都成立．“相对运动”的速度合成是由伽利略变换导出的，因而只在v≪c时才成立．

其实，船渡河的问题是一个相对运动问题，即v船对岸=v船对水+v水对岸．在这个问题中，涉及三个物体，分别为船、河水、河岸，解决的是船相对于两个不同参考系(河岸、河水)的速度之间的变换关系．

不过，现行高中《物理》教科书对“相对运动”的速度合成与“运动叠加原理”的速度合成并没有作区分，但是，物理教师还是应该知道它们有什么不同．

4 关于“运动叠加原理”的教学建议

“运动的合成与分解”放在“平抛运动”之前介绍，称之为研究曲线运动的基本方法，长期以来引起颇多争议．争议的原因，并不代表“运动的合成和分解”这个问题不存在或不重要，恰恰相反，它仍然是中学物理教学中很重要的问题，只是不可能在高一阶段,面向全体高中学生，一步到位，讲全讲透．

不过，将复杂的问题分解为几个比较简单的问题，并找出它们之间的联系，是一种研究问题的方法，也是一种解决问题的能力，是高素质人才必须具备的能力，特别是面向理工方向发展的学生，应该在学习高中物理的过程中，通过学习“运动的合成与分解”、“波的叠加原理”等知识，掌握把复杂运动分解为简单运动的方法，培养这种解决复杂问题的能力．因此，在高中阶段，有关“运动叠加原理”的教学，要注意避虚就实、循序渐进．

4.1 在进行“平抛运动”教学时初步认识“运动叠加原理”

在研究平抛运动之前，还是可以通过船渡河或类似的实例、实验介绍“运动的合成与分解”的．在研究平抛运动的过程中，更不要刻意回避“运动的合成与分解”，而应作为一种研究复杂运动的方法渗透在整个教学过程之中．

(1)提出问题

平抛运动是一种比较复杂的曲线运动，其速度大小、方向都时刻发生改变，能不能对这个复杂的运动进行分解，将它转化为熟悉的、比较简单的运动呢？

(2)理论分析

在水平方向上，物体不受力，由于惯性而做保持初速度不变的匀速直线运动；在竖直方向上，初速度为零，物体受到重力作用，做自由落体运动．

(3)实验研究

通过图2所示的实验证实水平方向的运动和竖直方向的运动是相互独立的．

(4)方法引导

适时介绍“运动的合成与分解”，指出水平方向和竖直方向上这两个相互独立的运动是平抛运动的两个分运动，平抛运动则是这两个分运动的合运动．说明合运动与分运动在位移、速度、加速度等方面的关系，指出分运动、合运动的等时性．从而得出平抛运动的规律．

(5)了解“运动合成与分解”的适用范围

在解决动力学问题时，由牛顿第二定律建立的方程是矢量方程．对于比较复杂的运动，常常选取适当的坐标系分解为几个标量方程求解，分量方程之间可能是独立的、不相关的，也可能是不独立的、相关的．因此，分运动的独立性不宜推广，更不能总结出所谓的“运动的独立性原理”去无条件地应用“运动的合成与分解”解决一切问题．

4.2 在解决带电粒子运动问题时深入理解“运动叠加原理”

通过解决带电粒子在电场、磁场中的运动问题，不断加深学生对“运动合成与分解”的理解，进一步提高学生运用这种研究方法解决复杂运动问题的能力．

【例1】如图3所示，空间中存在着方向水平向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，由静止释放一个重力不能忽略的带电微粒，其质量为m，带电荷量为+q．试定性分析该微粒的运动情况．

图3

分析：带电微粒在运动过程中受到两个力的作用，重力mg是恒力，其方向沿竖直向下；洛伦兹力是变力，其大小和方向都在变化．

图4

4.3 在研究“波的叠加”时熟练运用“运动叠加原理”

在进行“波的叠加”、“波的干涉”教学时，要做好绳波、弹簧波、声波、水波的叠加实验．通过观察分析实验现象，引导学生自主总结出“波的独立传播原理”和“波的叠加原理”．熟练运用“波的叠加原理”定性分析两列相干水波引起的“波的干涉”现象，用波的图像定量解决两列简谐波叠加的简单问题．

【例2】两列简谐波沿x轴相向而行，波速均为v=0.4 m/s，两波源分别位于A，B处，t=0时的波形如图5所示．当t=2.5 s时，M点的位移为______cm，N点的位移为______cm．

图5

在2.5 s的时间内Δt=5TA=2.5TB，两列波各自独立传播的距离分别为5λA和2.5λB.根据“波的独立传播原理”，在图6中画出t=2.5 s时的两个波形图，再由“波的叠加原理不难求出，当t=2.5 s时，M点的位移为2.0 cm，N点的位移为零．

图6

从高一到高三不同的学习阶段，从认识、理解到熟练运用的不同层次，结合各阶段的具体问题，循序渐进地进行“运动叠加原理”的教学，是符合学生认知规律的．通过实例，既要让学生认识到这是一种常用的把复杂运动分解为简单运动的方法，又要让学生明白“运动叠加原理”是有条件的，不能盲目推广．在教学过程中，最重要的是培养学生科学运用“运动叠加原理”解决实际问题的能力，至于“运动叠加原理”的深层条件(动力学方程是线性微分方程)不必要向全体学生做具体的推导，不妨把这个问题留给有兴趣的学生在课外或以后的学习中继续研究．

参考文献

1 张维善.关于“运动叠加原理”的表述及其理解的再思考

2 洪安生.谈把复杂的运动分解为简单的运动

3 周誉蔼.高中物理专题分析：运动学.北京：人民教育出版社

4 缪钟英，罗启蕙.力学问题讨论.北京：人民教育出版社