用折合质量巧解弹簧双振子问题

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

这是弹簧双振子的固有周期，与恒定外力无关.

【例1】一轻质弹簧两端连接质量都为m且大小不计的小球a,b，弹簧的自然长度为L.现将两小球放开，让此系统自某一高度下落，a小球在下方且离地高度为h．a小球与地面发生弹性碰撞后离开地面，当第二次接触地面时，弹簧压缩量第一次达到最大.试求：(1)弹簧的劲度系数；(2)a小球第二次触地时的速度.

接下来分析两小球相互作用压缩弹簧的过程.在自由落体参考系中，两小球只受相互作用的弹力，合外力为零.若以a小球为参照物，则b小球的折合质量为

且相对于a小球做简谐运动，周期为

这是系统的固有周期，不因参考系而变化.

图1

方向竖直向下.

由于a小球仍在水平面上，而b小球相对于a小球靠近一个振幅，则系统的质心即弹簧的中点发生的位移大小等于半个振幅，即

(2)当a小球第二次触地时，其速度为质心速度，即为

【例2】(第22届全国中学生物理竞赛复赛题)如图2所示，在一个劲度系数为κ的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质量为2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A小球的位置重合．试求任意时刻两小球的坐标.

图2 图3

解析：首先利用相对运动法和简谐运动规律求两个质点坐标之间的关系.

在原坐标系中，设某时刻小球和弹簧的位置如图3所示，小球A与B的坐标分别为x1，x2，弹簧的自然长度为l0，则此时弹簧的形变量为

Δx=l′-l0=x2-x1-l0

对小球A与B的振动由牛顿第二定律分别有

mg+κΔx=ma1

(1)

2mg-κΔx=2ma2

(2)

可知相对加速度为

(3)

式中Δx为弹簧的形变量即两小球的相对位移，因此,这是以小球A为参照物来反映小球B运动的动力学方程，可见小球B相对于小球A做简谐运动，与重力无关，若认为小球A固定不动，则小球B的折合质量为

故简谐运动的周期为

(4)

这也是固有周期，因此角频率为

(5)

所以,小球B相对于小球A做简谐运动的位移随时间变化的关系式为

(6)

式(6)两边求导数得

(7)

开始时，弹簧的形变量为

Δx0=l-l0

对小球B由受力平衡有

κ(l-l0)=2mg

得

所以

(8)

下面利用质心坐标公式和自由落体运动规律求两个质点坐标之间的关系.

在t=0时，A，B两小球的位置坐标为x1=0，x2=l.

(9)

在细线烧断以后，质心做自由落体运动，因此在任意时刻t，质心的坐标为

(10)

而由质心坐标公式得

(11)

(12)

联立式(8)、(12)解得任意时刻两小球的坐标为

图4

【例3】如图4所示，劲度系数为κ的弹簧，自由长度为L0(足够长)，两端连着两个小球，质量分别为m1,m2，带正电荷，电荷量分别为Q1,Q2，整个装置放于匀强电场中，场强大小为E，方向与弹簧方向一致．开始时，弹簧为自由长度，两小球静止，设两个小球之间的静电相互作用及各种引力均忽略不计，试求小球由静止释放后两个小球之间的最大距离．

解析：相互作用之外的恒力为电场力，两个小球受到电场力单独作用而产生的加速度大小分别为

方向向右.

若a1=a2，则弹簧长度保持不变，最大长度L=L0；若a1>a2，则弹簧长度变小，最大长度为L=L0；若a1

以小球A为参照物，则折合加速度为

a′=a2-a1

因此，小球B所受恒力的折合力为

即

解得

还可与竖直弹簧振子类比，利用平衡条件求解弹簧长度.