往复荷载下层状地基柔性筏板-群桩共同作用分析

黄茂松 ，李 波

（1. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092； 3. 长江科学院 水利部岩土力学与工程重点实验室，武汉 430010）

1 引 言

筏板刚度对桩筏基础共同作用时的整体刚度以及荷载位移曲线影响很大。传统的桩筏基础设计假设所有的荷载都由筏板底下的桩来承担过于保守，现场试验和室内模型试验的结果表明，筏板最多可承担总荷载的30%[1]。Poulos 等[2－3]以及Shen 等[4－5]根据桩荷载传递曲线提出了刚性筏板下群桩基础的变分方法，其他学者也对桩筏基础与土的相互作用进行了研究[6－7]。尽管如此，这些文献仅考虑了刚性筏板的情况，而对于柔性筏板问题进行分析的文献相对较少。Brown 等[8]分析了柔性基础的情况，但采用经典的梁理论来分析桩，从而限制了该法的使用范围。Fatemi-Ardakani[9]采用边界元法分析柔性板，将桩简化为弹簧，但未考虑筏板与土之间的相互作用。Hain 等[10]采用有限单元法分析柔性板，群桩分析则是采用Ploulos 等[2－3]桩的荷载-位移曲线分析方法。Mendoca 等[11]基于Mindlin 解采用边界元方法分析了半无限域地基上的桩筏问题；在此基础上进一步采用有限单元-边界元混合法，同时考虑了筏板与土的相互作用，分析了刚性承台和柔性筏板下群桩问题[12]。金永涛等[13]对Geddes 模型进行了改进，用薄板理论的有限单元法分析弹性地基上的基础板。以上方法在解决半无限域均质地基时可以得到比较精确的解答，但均未考虑层状地基问题。

用三维数值方法（有限单元法或有限差分法）对桩筏基础进行分析，可以克服以上方法存在的缺点。Trochanis 等[14]、Smith 等[15]、Sanctis 等[16]用三维有限元方法对桩筏基础分析时，全面考虑了土体的非均匀性和桩-土相互非线性特性，并可施加符合实际情况的边界条件。但这些方法的计算工作量大，建模复杂，因而不易被工程设计人员所接受。

本文在文献[17]的基础上，采用Mindlin 板理论的有限单元法建立筏板的刚度矩阵，既可以分析薄板问题，又可以用于中厚板的计算，并考虑了筏板刚度对整体刚度矩阵的影响。采用层状弹性地基受表面或内部作用荷载时的Burmister[18]解来计算土表面对土表面以及土表面对桩顶面(或桩顶面对土表面)的相互作用矩阵；考虑了层状地基中筏板与群桩和土的共同作用，得出了桩筏基础共同作用下竖向荷载与位移的关系。利用柔性筏板-群桩沉降计算方法和往复荷载下土体压缩模量的衰减特性建立了柔性筏板-群桩基础的长期沉降预测方法。

2 层状地基中柔性筏板-群桩共同作用分析

图1 所示为层状地基中桩筏基础共同作用简化分析模型。将桩简化为一维杆单元，而桩-土摩擦则通过节点处弹簧等效代替，筏板用Mindlin 板弯曲单元来分析，筏板与桩-土的相互作用等效为筏板节点处的弹簧作用。

假设弹性地基上的筏板同时受到上部荷载{ F}和基础反力{ R} 的共同作用，利用板的刚度矩阵[ Kr]和节点位移列阵{ w} 来表示板的平衡方程为

桩-土体系的相互作用分析是利用桩-土体系的刚度矩阵 sp[ ]K 和桩-土节点位移顶部沉降{ }s 建立平衡方程：

根据变形协调条件即{ } { }w s= ，式（1）、（2）联立可得

下面分别计算筏板的刚度矩阵[Kr]和桩-土体系的刚度矩阵[Ksp]。

筏板的刚度矩阵[Kr]由Mindlin 板的有限元法可得

图1 桩筏基础共同作用模型 Fig.1 Model for interaction of piled raft foundation

桩-土体系的刚度矩阵[Ksp]一般由柔度矩阵[Fsp]求逆后得到，[Fsp]可写成子矩阵的形式：

式中：子矩阵 fpp、 fsp、 fps、 fss分别为桩顶面对桩顶面、桩顶面对土表面、土表面对桩顶面、土表面对土表面的相互作用关系矩阵，如图2 所示。其中，L 表示桩长，S 表示桩间距。

图2 桩-土体系相互作用 Fig.2 Pile and soil interaction

（1）桩顶面对桩顶面作用

图2(a)所示为桩顶面对桩顶面的相互作用模型。桩顶作用荷载时自身顶部的沉降分析采用基于传递矩阵形式的层状剪切位移法，桩-土可以出现相对滑动：

而两根桩仅考虑“主动桩”对“被动桩”的影响时，由于“被动桩”的荷载-位移曲线基本上处于弹性状态[14]，因此，假定“被动桩”与土之间不发生相对滑动。分别求解“主动桩”和“被动桩”的桩身控制方程便可以得到二者在任一层的位移和轴力：

（2）桩顶面对土表面作用

图2(c)为桩顶面作用单位荷载引起的土表面沉降，为了简化，将桩侧剪应力以作用在桩轴线上的集中力代替，如图3 所示。其中，i 为土节点，j 为桩节点，PPi为作用在桩j 上的荷载，F1、F2、Fi为桩侧摩阻力，Fb为桩端桩端阻力。则子矩阵 [ fsp]中的柔度系数表示作用在桩j 顶面单位荷载引起的土单元i 中心的位移：

式中：r 为单元i、j 之间的水平距离；m 为桩侧划分的土层数；zb为桩底的深度；zi为桩侧摩阻力作用点的深度；w(r， zb)、w(r， zi)分别为层状地基内部桩底反力和桩侧摩阻力作用时在土单元 i 的Burmister 位移基本解。

图3 桩顶面对土表面作用 Fig.3 Pile and soil surface interaction

子矩阵ps[ ]f 中的各柔度系数可以通过Maxwell 相互作用原理求得

（3）土表面对土表面的刚度矩阵

土顶作用荷载时，子矩阵 [ fss]中的柔度系数为土单元i 在单位荷载下自身的沉降，为了避免应力集中，假设为均布荷载，采用多层地基表面作用轴对称垂直荷载的Burmister 位移解；为作用在土单元j 上的单位荷载引起土单元i 上的位移，可以由土单元i 上的Burmister 位移解积分求得。此处为了避免复杂的积分运算，假设土单元j 上荷载均匀分布。

3 往复加卸载作用下桩筏基础的沉降

采用本文方法分析往复加卸载作用下层状地基中桩筏基础的沉降，分析过程分为加载沉降和卸载回弹两个方面。其中，沉降计算过程中所用到弹性模量由压缩模量推算求得[19]：

式中： 2.5λ= ～3.5；12E-为地基土在100～200 kPa压力作用时的压缩模量。

第i 次往复加卸载次数下桩筏基础的累积沉降iΔ 可表示为

式中：ssi和sri分别第i 次加卸载下桩筏基础的加载沉降量和卸载回弹量。

N 次加卸载循环后总的累积沉降s 为

基于以上分析，利用层状弹性地基的Burmister位移解，编写了层状地基Mindlin 板有限单元法程序，并进一步实现了层状地基中柔性筏板-群桩共同作用计算程序。程序中每个单元的弯矩可以由高斯点处的应力值求得。将单元弯矩平均到该单元内所有的节点，在相同的节点编号处累加，得到每个节点处的弯矩。

4 算例验证

算例中常用的符号：Es为土的弹性模量，vs为土的泊松比，Ep为桩的弹性模型，vp为桩的泊松比，ER为板的弹性模量，vR为板的泊松比，w 为板沉降，Mx为板沿x 方向的弯矩。

4.1 与有限元-边界元混合法的比较

Mendonca 等[12]采用有限单元和边界元混合法分析了弹性半空间地基上桩筏基础，得到了均布竖向荷载（q）作用下4 根桩和9 根桩两组群桩支撑下筏板的沉降和弯矩。

图5 为4 根桩支撑的桩筏基础（如图4 所示）沉降随Kst的变化规律，表明桩筏基础中心点处沉降随板刚度的增加逐渐减小，且当Kst＞0.1 之后沉降基本相同。筏板从完全柔性变化到完全刚性，桩筏基础中心点的垂直位移(wEs/GB)减小了0.48，占柔性桩筏基础共同作用的36%。

图4 4 桩支撑的桩筏基础 Fig.4 Raft foundation of four piles group

图5 筏板中心点的垂直位移 Fig.5 Vertical displacement of the central point of the raft

图6 桩筏基础布置图 Fig.6 Layout of the raft and piles

下面对比柔性筏板下9 根桩的沉降（w）和弯矩（Mx）分布，群桩布置及相关参数如图6 所示。由图7 可知，柔性板下无论是刚性桩还是柔性桩的群桩基础的沉降计算结果与有限元-边界元混合法解均比较一致。显然刚性桩支撑时桩节点处的位移明显比柔性桩时小。但两种不同刚度的桩支撑使得桩筏基础在非桩节点处的最大差异沉降仅为0.2 mm，这表明板的刚度对桩筏基础相互作用的总体刚度矩阵的贡献不可忽视。

图7 沿CD 的竖向位移分布图 Fig.7 Vertical displacements along the section CD

图8 为刚柔性桩支撑下的桩筏基础沿EF 的弯矩（Mx），本文方法计算结果与Mendonca 等[12]相比，仅在个别节点处差异比较大，整体分布规律基本一致。两者均在靠近板边界的桩节点的弯矩最大，且最大值相差不大，但在靠近板中心的桩节点的弯矩明显大于柔性桩。

图8 沿EF 的弯矩图 Fig.8 Bending moments along EF

4.2 与有限元法的比较

图9 双层地基方形板的竖向位移 Fig.9 Vertical displacements along two-layered soil borad

Ta 等[20]进一步分析了10×10 根桩支承下的大型桩筏基础，考虑其对称性只取其1/4 部分，如图10 所示。地基土采用Gibson 土，板分两种情况，刚性板ER/Es(2l)= 100 000 和柔性板ER/Es(2l)= 100。

本文将Gibson 土划分为50 层的层状地基，每一层地基为均质地基。图11(a)、(b)分别为沿刚性板和柔性板桩筏基础的断面A′ - A′和B ′ - B′的弯矩。对比这2 幅图可知，柔性板明显比刚性板时的弯矩小，但波动更大。刚性板中心处的弯矩远大于其边界处的值，表明板的刚度越大，越能发挥板的支撑效果，将沉降较大的中心处的荷载转移到四周。

图10 10×10 桩筏基础1/4 布置图 Fig.10 Quarter layout of 10×10 piled raft foundation

图11 沿断面 A′ - A′和 B ′ - B′的弯矩 Fig.11 Bending moments along section A′ - A′and B ′ - B′

5 离心模型试验验证

文献[21]对3×3 群桩桩筏基础进行了6 次加卸载循环离心模型试验，群桩布置图见图12。离心加速度采用100 g，铝合金模型桩外径为1 cm，壁厚为0.2 cm，筏板采用铝合金板制作。转换为桩长为35 m、直径为1 m 的原型桩，板厚为2 m、边长为13 m，桩的间距为5 m。将地基土在一维固结仪上进行往复加载试验，表1 给出了室内试验得到的往复加载过程中各土样压缩模量和一维回弹模量的变化，此处选取 3.5λ = 转化为相应的弹性模量。为了便于理解和分析，将离心模型试验数据转化到对应原型尺度下进行阐述。采用本文方法计算得到6 次加卸载桩筏基础的沉降如表2 所示，最终累积沉降计算值为59.9 mm，与试验值70.4 mm 相差14.91%，满足实际工程中精度要求。

图12 3×3 群桩的布置 Fig.12 Layout of 3×3 pile group

表1 压缩模量和一维回弹模量随加载次数变化规律 Table 1 Variations of compression modulus and one-dimension resilient modulus with the number of loading and unloading

表2 计算值与实测值的对比 Table 2 Comparisons between computation and test values

6 结 语

（1）基于层状剪切位移法和“被动桩”的遮拦效应提出了柔性筏板-群桩共同作用分析方法，适用于大规模群桩支撑的柔性筏板和刚性筏板两种问题；进一步借助往复荷载作用下地基压缩模量的衰减特性提出桩筏基础的长期沉降分析方法。

（2）柔性筏板-群桩和刚性筏板-群桩共同作用的研究表明两者具有不同的特性：柔性筏板内弯矩仅与其附近的桩土支撑作用相关，从筏板中心到其边界处弯矩呈波浪形变化；而刚性筏板由于刚度较大，从筏板中心到其边界处的弯矩变化具有连续性，且逐渐增大。

（3）开展加卸载往复荷载作用下刚性筏板-群桩的沉降分析，并与离心模型试验结果进行对比验证，结果表明本文方法可根据有限次加卸载累积沉降预测桩筏基础的长期沉降。

[1] COOKE R W. Piled raft foundation on stiff clays—a contribution to design philosophy[J]. Géotechnique， 1986， 36(2)： 169－203.

[2] POULOS H G， DAVIS E H. The settlement behavior of simple axially loaded incompressible piles and piers[J]. Géotechnique， 1968， 18： 351－71.

[3] POULOS H G. An approximate numerical analysis of pile-raft interactions[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 1994， 18(2)： 73－94.

[4] SHEN W Y， CHOW Y K， YONG K Y. A variational approach for vertical deformation analysis of pile groups[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics， 1997， 21(11)： 741－52.

[5] SHEN W Y， CHOW Y K， YONG K Y. A variational approach for the analysis of pile group-pile cap interaction[J]. Géotechnique， 2000， 50(4)： 349－57.

[6] JINHYUNG L， YOUNGHO K， SANGSEOM J. Three-dimensional analysis of bearing behavior of piled raft on soft clay[J]. Computers and Geotechnics, 2010， 37(1－2)： 103－114.

[7] LEUNG Y F， KLAR A， SOGA K. Theoretical study of pile length optimization of pile groups and piled rafts[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 2010， 136(2)： 319－330.

[8] BROWN P T， WEISNER T J. The behavior of uniformly loaded piled strip[J]. Soils and Foundations， 1975， 15(4)： 13－21.

[9] FATEMI ARDAKANI B. A contribution to the analysis of pile-supported raft foundations[D]. Southampton： University of Southampton， 1987.

[10] HAIN S J， LEE I K. The analysis of flexible pile-raft systems[J]. Géotechnique， 1978， 28(1)： 65－83.

[11] MENDOCA A V， PAIVA J B. A boundary element method for the static analysis of raft foundations on piles[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2000， 24(3)： 237－247.

[12] MENDOCA A V， PAIVA J B. An elastostatic FEM/BEM analysis of vertically loaded raft and piled raft foundation[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2003， 27(9)： 919－933.

[13] 金永涛， 杨桦， 李峰利. 桩筏共同作用的改进Geddes计算模型与变刚度调平设计[J]. 岩土力学， 2010， 31(12)： 3875－3879. JIN Yong-tao， YANG Hua， LI Feng-li. Pile-raft interaction by using modified Geddes model and variable rigidity design method for balance settlement[J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31(12)： 3875－3879.

[14] TROCHANIS A M， BIELAK J， CHRISTIANO P. Three-dimensional nonlinear study of piles[J]. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE， 1991， 117(3)： 429－447.

[15] SMITH I M， WANG A. Analysis of piled rafts[J]. Int J. Numer. Meth. Geomech.， 1998， 22： 777－790.

[16] SANCTIS L， MANDOLINI A. Bearing capacity of piled rafts on soft clay soils[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE， 2006， 132(12)： 1600－1610.

[17] 黄茂松， 江杰， 梁发云， 等. 层状地基中桩基础的竖向荷载位移关系非线性分析方法[J]. 岩土工程学报， 2008， 30(10)： 1423－1429. HUANG Mao-song， JIANG Jie， LIANG Fa-yun， et al. Nonlinear analysis for settlement of vertically loaded pile foundation in layered soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2008， 30(10)： 1423－1429.

[18] BURMISTER D M. The general theory of stresses and displacements in layered soil systems[J]. Journal of Applied Physics， 1945， 16(2)： 89－96， 16(3)： 126－127， 16(5)： 296－302.

[19] 杨敏， 赵锡宏. 分层土中单桩分析法[J]. 同济大学学报， 1992， 20(4)： 421－428. YANG Min， ZHAO Xi-hong.An approach for a single pile in layered soil[J]. Journal of Tongji University， 1992， 20(4)： 421－428.

[20] TA L D， SMALL J C. An approximation for analysis of raft and piled raft foundations[J]. Computers and Geotechnics， 1997， 20(2)： 105－123.

[21] 江杰， 黄茂松， 李波， 等. 重复加卸载下桩筏基础沉降分析与离心模型试验[J]. 岩土工程学报， 2009， 31(12)： 1811－1817. JIANG Jie， HUANG Mao-song， LI Bo， et al. Analysis for settlement of piled raft foundation under repeated loading and verification by centrifuge model tests[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2009， 31(12)： 1811－1817.