岩石非线性黏弹性蠕变特性的时温等效效应

朱元广，刘泉声，张程远，时 凯

（中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）

1 引 言

岩石流变力学研究的目的是，在全面反映岩体流变本构属性的基础上，通过试验分析和数值解析计算，求得岩体内随时间增长发展的应力、应变及其作用时间历程，为流变岩体的稳定性做出符合工程实际的正确评价[1]。一般的，可通过短时间尺度内获得的流变测试数据及其数学模型来预测岩体工程的长期稳定性，在此过程中，获得准确的流变测试数据是所有研究工作的基础。然而，在试验研究中发现岩石的流变力学特性显现与试验的时间尺度密切相关[2－4]，即岩石在短时间内获得的测试数据并不一定能够完全反映其在长时间尺度下的流变力学特性。为此，刘泉声等[5－8]基于聚合物材料研究中的时温叠加思想[9－12]，提出利用时温等效效应来研究岩石在长时间尺度下的流变力学特性。这种等效效应在力学上表现为：岩石在低温、长时间尺度条件下的流变力学特性与其在高温、短时间尺度条件下的流变力学特性等效；在数学上表现为：温度的上升等于时间对数的平移。因而，采用在试验过程中提高岩石样品温度的方法，可以获得岩石在相对较低温度下长期的流变测试数据。

然而，从材料科学研究的角度来看，岩石属于典型的非线性材料，也就是说并不能仅通过某一荷载下的流变力学特性去外推其他任意荷载下的流变力学特性。对于岩体工程而言，如果应力或应变足够小，岩石的力学行为可以通过成熟的黏弹性理论来描述。然而，这个线性范围相对于岩石屈服或断裂之前可获得的整个范围是很小的。如果考虑到岩体工程的长时间尺度的稳定性分析，在应力或是应变分析中就必须要考虑到岩石应力-应变关系的非线性特性，因此，讨论岩石在非线性条件下流变特性的时温等效效应显得尤为重要。

岩石非线性流变力学特性的理论研究有很多种不同的方法，大致可以分为半经验方法、分子理论的处理方法、严格的演绎方法[13]。其中，分子理论的处理方法和严格演绎的方法由于在数学和试验上的巨大复杂性，在岩石的流变力学特性研究中采用的相对较少，而半经验方法是试验经验公式和某种理论分析的结合基础上建立的表达岩石非线性性质的公式，兼顾了理论的严谨性和经验的简化性，得到了广泛的使用。

本文将基于Schapery单积分型的非线性本构方程，推导岩石非线性黏弹性下时温等效效应的数学表示。通过对不同应力及温度下花岗岩的蠕变试验数据分析，研究花岗岩非线性黏弹性的时温等效效应。

2 单轴荷载下的本构方程

作为参照，首先阐述在单轴荷载作用下岩石线黏弹性本构方程的一般形式。

2.1 线性方程[13]

在 0t= 时刻作用一个常应力，应变与应力的关系可以通过时间的函数来表示，即

式中： ( )J t 称为蠕变柔量，一般随着时间的增长而增加。在试验测试中一般写成下面等效的形式：

式中： J0为初始蠕变柔量； ΔJ (t ) = J (t )- J0表示蠕变柔量转变的部分。

类似地，在常应变条件下松弛测试的松弛模量可以表示为

或写成等效形式：

式中： E ( t )为松弛模量，一般随着时间的增长而减小；E∞为松弛模量的最终值或平衡值； ΔE (t )= E ( t )- E∞，为松弛模量的转变部分。

当已知 ( )J t 时，可以根据Boltzmann 叠加原理计算在任意应力条件下的应变响应：

通过将 0 ( )Hσ σ τ= 带入蠕变方程式（5）可以得到式（2）的表示形式，其中，0σ 为常数， ( )H τ为阶跃函数，有下面的数学形式：

类似地，可以根据松弛数据计算任意应变下的应力响应：

在线性范围内，岩石的黏弹性力学行为可以通过式（5）、（7）中的任意一个来表示，因为式（5）、（7）是可以相互转化的。通过试验测试和式（1）、（3），可以很容易地得到岩石的黏弹性函数。因而惟一的决定因素就是哪种试验方法是容易可行的。下面会看到，由于非线性材料包含了额外的力学性质，上述结论对非线性材料并不是绝对的正确。

2.2 非线性方程

在岩石非线性流变力学特性本构关系的研究中，单积分型由于其形式简单、便于试验研究和较易求出特性函数、有利于解决实际问题等优点，得到了广泛的发展和应用。即便如此，单积分型本构表示的名目也有很多，如BKZ 理论、有限线黏弹性理论、修正叠加法、Schapery 本构关系等等。本文的研究将基于Schapery[14]的非线性黏弹性的本构方程的表示形式。

Schapery[14]基于不可逆热力学，在假设了一种简单形式的Gibbs 自由能及熵升率公式后，导出了下面的本构方程：

式中：0J 和 JΔ 为前面定义的线黏弹性蠕变柔量的两个组成部分；ψ 和ψ′为减缩时间变量，由下式定义：

g0、 g1、 g2、aσ均为应力的函数，表示材料应力-应变之间的非线性特性。比较式（5）、（8）可以看出，当应力足够小(σ → 0)使得材料处于线性范围内时，有 g0= g1= g2= aσ= 1。而且，这些应力相关特性有着特殊的热力学意义， g0、 g1、 g2与外加应力的关系取决于Gibbs 自由能函数中三阶以上项，aσ则受到熵和自由能中高阶项的影响，同时还受温度的影响。

按照相同的思路，可以写出下面的非线性松弛型本构方程：

式中：ρ 和ρ′为减缩时间变量，由下式定义：

aε、h∞、1h 、2h 与应变的关系取决于Helmhotze自由能函数中三阶以上项，aε还受到熵以及自由能中高阶项的影响，同时还受温度的影响。

将常应力0( )Hσ σ τ= 带入到蠕变型本构方程式（8），并利用式（9），可以得到蠕变柔量J 的表示形式：

同样，将 0 ( )Hε ε τ= 带入到松弛型本构方程式（10），并利用式（11），可以得到松弛模量E 的表示形式：

很显然，式（12）和（13）之间一般是不能够相互转化的，因为引入了非线性的材料特性。因而，在非线性范围内，岩石的黏弹性函数需要单独的测试获得。

满足式（12）岩石的非线性测试数据已有很 多[15－16]。如果 g0= g1= aσ= 1，那么式（12）简化为修正Boltzmann 叠加原理的表示形式。在2.2 节中笔者曾提到0J 和 JΔ 是前面定义的线黏弹性的蠕变柔量的两个组成部分。因而，从数学的角度来看，Schapery 的非线性表示方法只是在线黏弹性本构方程的基础上引入了表示应力-应变非线性关系的非线性系数。

3 非线性黏弹性的时温等效

基于上述的非线性理论，讨论非线性条件下岩石黏弹性特性时温等效效应的数学表示。考虑到非线性条件下岩石蠕变和松弛特性函数的数学表示在形式上是类似的，本文只选取目前研究最为广泛的蠕变特性作为讨论的对象。

在线黏弹性时温等效理论的研究中[7]，对于具有时温等效效应的岩石，有下面的关系成立：

式中： Tref、T 分别为参考温度和其他的任意温度，一般认为， Tref＞ T； bT为垂直移位因子，是温度的函数，表示温度改变对瞬时（初始）蠕变柔量的影响； aT为水平移位因子，也是温度的函数，表示温度变化与时间尺度延伸之间的等效关系，并且有aT＞ 1。式（14）的成立意味着岩石在参考温度 Tref下t 时刻的蠕变力学特性可以通过相对较高温度T下 t /aT的蠕变力学特性来表征。因此，通过短时间的高温测试能够获得较低温度的长时间的流变力学特性。

根据式（2）、（14），将线性条件下的蠕变柔量写成初始蠕变和转变蠕变两部分：

然后，将非线性条件下的蠕变柔量表示写成参考温度下的形式，即将式（12）写成：

结合式（15）、（16），可以得到非线性条件下岩石时温等效效应的数学表达式：

比较式（14）、（17），发现时温等效关系在线性和非线性条件下是一致的，惟一的差别在于垂直移位修正时需要考虑非线性系数的影响。从式（17）可以看出，非线性黏弹性时温等效的数学表示需要确定的参数有：非线性参数0g 、1g 、2g 、aσ；表示时温等效效应的参数水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。

在下面的试验研究中，将首先考虑在某一应力下岩石的时温等效效应，得到不同应力下的水平移位因子Ta 和垂直移位因子Tb 。然后通过分析不同应力下的Ta 和Tb ，可以得到0g 和aσ随应力的变化规律。

4 试验研究

花岗岩作为高放废物处置库的候选围岩，其流变力学特性的长期演化规律是预测处置库围岩安全性的关键科学问题之一。为此，本文将利用文献[17]的试验结果对花岗岩的非线性黏弹性的时温等效效应进行研究。

4.1 试验结果

试验所用的花岗岩采自Flossenburg 附近的采石场。花岗岩矿物的体积百分比为：石英为20%，微斜长石为30%，斜长石为35%，白云母为12%，黑云母为2%，其他为1%。试件采用岩芯钻取法取自同一块岩石，加工成直径为3 cm、高为12 cm 的圆柱体，两端用SiC 打磨抛光。采用60 t 的压力机进行单轴蠕变试验研究，加载应力分别为40、64、 80 MPa，测试不同温度（20 ℃、100 ℃、150 ℃、200 ℃、400 ℃）下花岗岩的应变随时间的变化关系，测试结果如图1 所示。

从图可以看出，随着温度的上升，花岗岩的蠕变过程显著地加快。这也是岩石时温等效效应研究基于的最基本的试验现象。

4.2 垂直移位因子、水平移位因子及主曲线

下面，参考线黏弹性时温等效理论中提出的方法[8]对不同温度及应力下的蠕变曲线进行时温等效效应研究。

我们选定20 ℃为参考温度。通过分析不同温度下的瞬时弹性模量来确定Tb 。

式中： Eref、E 分别为参考温度及任意温度下才瞬时弹性模量。得到不同应力及温度下垂直移位因子bT的值如表1 所示。将图1 中的蠕变曲线按照表1中的移位数值 bT进行垂直移位，得到修正的蠕变曲线，并将修正后的曲线表示为对数蠕变柔量与对数时间的形式（见图2）。

图1 花岗岩在不同温度下的蠕变曲线 Fig.1 Creep curves of granite at different temperatures

表1 不同温度及应力下bT 的移位值 Table 1 Shift values of bT at different temperatures and stresses

然后，对修正后的蠕变柔量时间对数曲线沿着对数时间轴进行水平移位。保持参考温度下的曲线位置不变，较高的温度向右水平移动，使得较高温度的曲线能够与参考曲线之间相交于一点，并尽可能地使它们的变化趋势保持连续。按照这样的步骤将非参考温度下曲线进行平移得到的结果如图3 所示。由此得到不同应力及温度下的水平移位因子Ta的值如表2 所示。

表2 不同温度及应力下aT 的移位值 Table 2 Shift values of aT at different temperatures and stresses

由图3 中不同应力下蠕变柔量的主曲线发现：在允许的误差范围内，相邻温度蠕变柔量曲线之间的一致性较好，因此，可以认为花岗岩的时温等效效应是存在的。

通过上述的垂直移位修正和水平移位查看，得到了花岗岩蠕变柔量在参考温度为20 ℃条件下的主曲线。其时间尺度由蠕变测试的3.6×103s 分别延伸到106.18s（σ =40 MPa）、106.18s (σ =64 MPa)、104.78s(σ =87 MPa)。利用同样的方法，得到了参考温度为100 ℃条件下花岗岩蠕变柔量的主曲线（见图4），主曲线的时间尺度分别延伸至105.48s（σ= 40 MPa）、10.518s (σ =64 MPa)、104.53s(σ =87 MPa)。

4.3 移位因子的非线性特性

根据上一节的研究，得到了不同应力下的垂直、水平移位因子及主曲线。下面分析非线性系数0g 和aσ的变化特征，由于试验的应力数据较少，这里不对具体的表示式中定量的分析研究。

根据表1，得到垂直移位因子随应力变化情况如图5 所示。可以看出，随着应力的上升，垂直移位因子总体上处于增加趋势，因而0g 的函数表示为应力的增函数形式。

根据表2 得到水平移位因子随应力变化情况如图6 所示。可以看出，在应力为40、64 MPa 时，其非线性特性并不明显，但随着应力上升到87 MPa，水平移位因子有了显著的改变。因而，aσ在较低应力时可以认为 1aσ= ，当应力增大到一定程度，其非线性特性明显，可表示为应力的减函数形式。

图5 垂直移位因子bT 随应力的变化 Fig.5 Variation of vertical shift factor bT with stress

图6 水平移位因子aT 随应力的变化 Fig.6 Variation of horizontal shift factor aT with stress

5 结 论

论文基于单积分型Schapery 非线性本构方程，推导了非线性黏弹性条件下岩石时温等效效应的数学表示，并结合国际上公开发表的不同应力及温度下花岗岩的蠕变测试结果，探讨了非线性下花岗岩的时温等效效应，得到如下结论：

（1）非线性黏弹性时温等效效应的数学表示可以写成与线黏弹性时温等效效应的数学表示相类似的形式。

（2）查看不同参考温度下的主曲线发现：相邻移位曲线之间的连续性及一致性良好，进一步验证了花岗岩的时温等效效应。通过时温等效效应得到的参考温度下主曲线的时间尺度远远超过了室内试验得到的某一应力及温度下试验曲线的时间尺度。

（3）垂直移位因子和水平移位因子具有明显的非线性特性，总的来说，垂直移位因子随应力的增加而增加，水平移位因子随着应力的增加而减小。

[1] 孙钧. 岩石流变力学及其工程应用研究的若干进展[J]. 岩石力学与工程学报， 2007， 26(6)： 1081－1106. SUN Jun. Rock rheological mechanics and its advance in engineering applications[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26(6)： 1081－1106.

[2] 刘泉声， 许锡昌， 山口勉， 等. 三峡花岗岩与温度及时间相关的力学性质试验研究[J]. 岩石力学与工程学报， 2001， 20(5)： 715－719. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Testing study of mechanical properties of the Three Gorges granite concerning temperature and time[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 20(5)： 715－719.

[3] 张宁， 赵阳升， 万志军， 等. 高温三维应力下花岗岩三维蠕变的模型研究[J]. 岩石力学与工程学报， 2009， 28(5)： 875－881. ZHANG Ning， ZHAO Yang-sheng， WAN Zhi-jun， et al. Model study of three-dimensional granite creep properties under high temperature[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28(5)： 875－881.

[4] PATERSON M S. Rock deformation experimentation[J]. The Brittle-Ductile Transition in Rocks， 1990， 56： 187－194.

[5] 刘泉声， 王崇革. 岩石时-温等效原理的理论与实验研究——第一部分：岩石时-温等效原理的热力学基础[J]. 岩石力学与工程学报， 2002， 21(2)： 193－198. LIU Quan-sheng， WANG Chong-ge. Theoretical and experimental study of time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2002， 21(2)： 193－198.

[6] 刘泉声， 许锡昌， 山口勉，等. 岩石时-温等效原理的理论与实验研究——第二部分：岩石时-温等效原理主曲线与移位因子[J]. 岩石力学与工程学报， 2002， 21(3)： 320－325. LIU Quan-sheng， XU Xi-chang， YAMAGUCHI TSUTOMO， et al. Theoretical and experimental study on time-temperature equivalence principal for rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 22(3)： 320－325.

[7] LIU Quan-sheng， ZHU Yuan-guang. Research for time-temperature equivalence effect of rock (I)： Theory research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(3)： 641－646.

[8] ZHU Yuan-guang， LIU Quan-sheng. Research for time-temperature equivalence effect of rock (II)： Experimental research[J]. Rock and Soil Mechanics， 2011， 32(4)： 961－966.

[9] FERRY J D. Viscoelastic properties of polymers[M]. New York： Wiley， 1961.

[10] WILLIAMS M L， LANDEL R F， FERRY J D， et al. The temperature dependence of relaxation mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids[J]. Journal of the American Chemical Society， 1955， 77(14)： 3701－3707.

[11] LEADERMAN H. Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polymers[M]. Washington， D.C： The Textile Foundation， 1943.

[12] TOBOLSKY A V， ANDREWS R D. Systems manifesting superposed elastic and viscous behavior[J]. Journal of Chemical Physics， 1945， 13(1)： 3－27.

[13] 周光泉， 刘孝敏. 粘弹性理论[M]. 合肥： 中国科学技术大学出版社， 1996.

[14] SCHAPERY R A. On the characterization of nonlinear viscoelastic materials[J]. Polymer Engineering & Science， 1969， 9(4)： 295－310.

[15] 孙钧. 岩土材料流变及其工程应用[M]. 北京： 中国建筑工业出版社， 1999.

[16] 金丰年. 岩石的非线性流变[M]. 南京： 河海大学出版社， 1998.

[17] RUMMEL F. Studies of time-dependent of some granite and eclogite rock samples under uniaxial constant compressive stress and temperature up to 400 ℃[J]. Zeitschrift fur Geophysik， 1969， 35： 17－42.