一类Nehari函数族的拟共形延拓与系数偏差

一类Nehari函数族的拟共形延拓与系数偏差

谢志春,黄心中
(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)

研究一类Nehari函数族的拟共形延拓,给出拟共形延拓的复伸张估计.对该类函数在单位圆内级数展开的系数给出一些精确估计,改进并推广了杨宗信等人的相应结果.

Nehari函数族;Schwarz导数;拟共形延拓;系数估计

1 预备知识

1949年,Nehari[1]证明了,若f在D内解析,满足|Sf(z)|≤2/(1-|z|2)2,则f在D内单叶.Ahlfors等[2]证明了,若f为D内局部单叶的亚纯函数,满足

则f在D内单叶且可以拟共形延拓到整个复平面上.其延拓后的复特征为

1979年,Nehari[3]证明了,若f在D内解析,满足

的解析函数的全体.

文献[4-9]对函数类进行深入的研究,称满足式(2)的函数族为Nehari族.Nehari函数类与区域常数、区域的几何特征有密切的联系[10].可见,对该问题的研究是一个重要的课题.

基于Ahlfors等[2]的研究,文献[11-12]对f∈N k的拟共形延拓作了进一步研究,文献[11]得到

其中:M=M(α,k)是常数.

2 主要结果及其证明

设f(z)为单位圆上局部单叶的解析函数满足式(3),根据文献[5]的方法,令

则在|z|>1上hα(z)的伸缩商为

为此,如定理A所述,希望找出适当的M(α,k),使得上述的延拓是整个复平面上的拟共形映照,且使得∞为最小.对于|z|>1,经计算可得

由文献[11]的结果,可得hM(z)的伸缩商为

为了找到复伸张较好的延拓,对hM(z)的复特征进行估计.

(1)当M>1时,有

当α=1时,可以得到如下推论.

推论1 若f为单位圆盘D上的亚纯函数,且满足式(1),则有

令N0表示N中满足就范条件f(0)=0,f′(0)=1,f″(0)=0的子类.对f(z)=z+a3z3+…∈N0的系数进行研究,可以得到

证明 由文献[11]中的定理2.1可得

所以,对于|ζ|=1,0≤r<1有

由f′(0)=1,可得

因此有

将上式代入f(z),可得

经整理,两边同时平方可得

当z→0时,有

整理后可得

当α=2时,文献[12]对以上的结论作过相应的研究,文中的定理2及推论2推广了文献[12]的结果.

[1]NEHARIZ.The Schwarzian derivative and schlicht functions[J].Bull Amer M ath Soc,1949,55(6):545-551.

[2]AHL FORSL,W EILL G.A uniqueness theo rem for Beltramiequations[J].Proc Amer Math Soc,1962,13:975-978.

[3]NEHARIZ.Univalence criteria depending on the Schwarzian derivative[J].Illinois J Math,1979,23(3):345-351.

[4]GEHRING FW,POMM ERENKE C.On the Nehari univalence criterion and quasicircles[J].Comment Math Helv, 1984,59(1):226-242.

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[7]CHUAQU IM,POMM ERENKE C.Characteristic properties of Nehari functions[J].Pacific J Math,1999,188(1): 83-94.

[8]CHUAQU IM,OSGOOD B.General univalence criteria in the disk:Extensions and extremal function[J].Ann Acad Sci Fenn,1998,23(1):101-132.

[9]CHUAQU IM,OSGOOD B.Ahlfo rs-Weill extensionsof confo rmalmappings and critical pointsof the Poincarémetric[J].Comment Math Helv,1994,69(1):659-668.

[10]LEHTO O.Univalent functions and Teichmüller space[M].New York:Sp ringer-Verlag,1987.

[11]杨宗信,陈纪修.Nehari函数族的偏差定理与拟共形延拓[J].数学年刊,2004,25(6):695-704.

[12]杨宗信.一类Nehari函数的偏差性质[J].数学年刊,2007,28(6):781-790.

(责任编辑:陈志贤英文审校:张金顺,黄心中)

On the Quasiconformal Extensionsand Coefficien ts Distortion for a Nehari Class

X IE Zhi-chun,HUANG Xin-zhong
(School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)

The quasiconfo rmal extensions for one class of Nehari functions are considered,and their dilatations are estimated.Some sharp coefficient estimates are obtained for these Nehari functions with normal condition.Our results imp rove the one made by Yang and Chen.

Nehari class;Schwarzian derivative;quasiconfo rmal extension;coefficient estimate

O 174.55

A

1000-5013(2011)03-0343-05

2009-09-19

黄心中(1957-),男,教授,主要从事函数论的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

福建省自然科学基金项目(2008J0195)