联系两个n维单形的不等式及应用*

杨世国，钱 娣

(1.合肥师范学院数学系，安徽 合肥 230061；2.安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230039)

对任意三个实数α,β∈(0,1],λ∈[2,n]，记

)

(1)

杨路与张景中率先将三角形Pedoe不等式推广到n维单形，建立了一种形式的n维Pedoe不等式[1]。

随后苏化明建立另一种形式的n维Pedoe不等式[2]

(2)

文献[3]给出不等式(2)的指数推广，得

(3)

文献[4]给出不等式(2)另一种推广，得

(4)

文献[5]给出不等式(2)-(4)的加强推广，得

(5)

文献[6]给出不等式(2)-(4)另一种加强推广，得

(6)

1 主要结果

(7)

不等式(7)比不等式(6)更强，实际上不等式(7)的右端应用算术-几何平均不等式便得不等式(6)。

(8)

由不等式(7)与算术-几何平均不等式便得不等式(9)。

(9)

2 引理与定理的证明

为了证明上面两个定理，我们需要下面几个引理。

引理1 对n维单形Ωn成立不等式

(10)

(11)

当Ωn为正则单形时(10)式，(11)式等号成立。

证明应用文献[7]中两个不等式

(12)

(13)

当Ωn为正则单形时，(12)式、(13)式等号成立。

应用文献[8-10]中两个不等式

(14)

(15)

当Ωn为正则单形时等号成立。

由(13)式与(14)式便得(11)式。另外(12)式可写为

则由上式与(15)式便得(10)式。

引理2 对n维单形Ωn，有

(16)

当Ωn为正则单形时等号成立。

证明引用文献[11]中不等式

(17)

当Ωn为正则单形时等号成立。

由不等式(17)与(10)便得不等式(16)。

引理3[3，12]设ΔABC三边a，b，c，面积为Δ,α∈(0,1]，则有

2a2αb2α-a4α-b4α-c4α

(18)

当ΔABC为正三角形时等号成立。

引理4 设n维单形Ωn的所有二维子单形的二维体积的乘积为M2，则

(19)

(20)

当Ωn为正则单形时，(19)、(20)式中等号成立。

证明引用文献[11]中结果

(21)

当Ωn为正则单形时等号成立。

由不等式(21)、(10)和(11)便得不等式(19)、(20)。

引理5 对n维单形Ωn，α∈(0,1],λ∈[2,n]，有

(22)

(23)

当Ωn为正则单形时等号成立。

证明先证λ=n时不等式(22)成立，此时不等式(22)为

(24)

利用算术-几何平均不等式与不等式(19)、(14)得

下面证明不等式(22)式对2≤λ

利用(24)式、算术-几何平均不等式，得

(25)

由(14)式可知

(26)

由(25)式、(26)式便知(22)式成立。易知当Ωn为正则单形时，(22)式中等号成立。

用同样的方法可证明不等式(23)式成立，证明过程中只需要将应用不等式(19)换成不等式(20)，应用不等式(14)换成不等式(16)即可，具体过程不再赘述。

)=

(27)

由(27)式与不等式(22)便得不等式(7)。易知当Ωn为正则单形时，(7)式中等号成立。

用同样方法可证明定理2中的不等式(8)成立。

参考文献：

[1] 杨路，张景中. Neuberg-Pedoe不等式的高维推广及其应用[J]. 数学学报, 1981, 24(3):401-408.

[2] SU H M.Two inequalities for the simplexes [J]. Chinese Sci Bull, 1987, 32(1):1-3.

[3] 陈计，马援. 涉及两个单形的一类不等式[J]. 数学研究与评论, 1989, 9(2):282-284.

[4] 毛其吉. 联系两个单形的不等式[J]. 数学的实践与认识, 1989,19(3):23-25.

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[6] 杨世国. 涉及两个n维单形的不等式[J]. 浙江大学学报：理学版, 2006, 33(3):247-249.

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[8] 冷岗松. Euler不等式的一个加强[J]. 数学的实践与认识, 2004, 25(2):94-96.

[9] 匡继昌. 常用不等式[M]. 济南：山东科学技术出版社, 2004.

[10] OPPENHEIM A. Inequalities involving the elements of triangles, quadrilaterals or tethraedra[J].Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz,1974,496:257-263.

[11] 苏化明. 关于切点单形的两个不等式[J]. 数学研究与评论, 1990, 10(2):243-247.

[12] 杨世国.n维Euler 不等式的推广[J].西安工程科技学院学报，2005，19(4)：503-506.