修理工休假的温贮备可修系统的瞬时可用度分析*

张 静，岳德权，王丽花

(燕山大学理学院，河北 秦皇岛 066004)

20世纪80年代开始，很多学者开始研究带有温贮备部件的可修系统，详见文献[1-7]，其在实际生活中，特别是在生产制造系统、电力系统和工业系统等领域有广泛的应用。例如，在生产制造系统中，可以有效的防治因失效的部件得不到及时的修理而造成的资源浪费和生产效率的降低。Jain等[6]研究了带有温贮备部件和一个修理工N-策略休假的模型，利用Laplace变换反演的方法得到了系统可靠度和平均寿命的精确表达式，文中只考虑了矩阵的所有特征值全部互异的情况，有很大局限性；Wang等[7]研究了带有止步和中途退出的带有温贮备的可修系统，利用Markov过程理论得到了系统可用度和首次故障前的平均时间的具体表达式，文中没有考虑修理工休假的情况。

本文对文献[6]中的方法进一步研究，考虑了矩阵有相同特征值的情况，进而研究了考虑止步现象的R个修理工进行同步多重休假的有多个温贮备部件的可修系统的瞬态结果，利用矩阵理论和Laplace变换反演的方法求解出了系统故障状态概率的精确表达式，从而得到了系统的瞬时可用度的精确表达式。

1 模型假定

本文研究了由m个同型工作部件、w个同型温贮备部件和R个修理工组成可修系统。模型假定如下：

1)系统正常运行时有m个正在工作的部件。系统还可以退化模式工作：w个温贮备部件全部故障，系统中有不少于k个但不多于m个部件工作时，系统工作。即当且仅当至少有R个部件失效时系统失效，k=1,2,…,m。

2)一旦工作部件故障立即用完好的温贮备部件替换，故障部件立即送修，如果修理工正忙或是休假，故障部件需排队等待修理。工作部件和温贮备部件的寿命分别服从参数为λ和α的指数分布,1-b。

3)系统有R个修理工，修理时间均服从参数μ的指数分布。修理工一旦空闲进行同步多重休假，休假时间服从参数θ(>0)的指数分布。一个修理工同时只能修理一个部件，修理顺序服从先到先服务的原则。

4)当正在工作的部件少于m个时，故障部件一旦修理完成立即进行工作，即作为工作部件；否则，故障部件修理完成后作为温贮备部件贮备；温贮备部件一旦进入系统工作相当于工作部件。

5)故障部件以概率1-b止步，以概率N(t)进入系统等待修理。止步的故障部件进入系统的缓冲区，等到系统中的所有故障部件都修理完时，缓冲区中的部件按照到达的顺序依次被修理。

6)部件间的转换通过转换开关来实现，转换开关完全可靠，转换是瞬时的；所有随机变量均相互独立；故障部件均可修复如新；初始时刻所有部件均完好。

注：当P0i(t)时，系统是m个部件的并联系统；当t时，系统是m个部件的串联系统。

2 瞬时可用度的研究

2.1 微分差分方程组

假设N(t)表示时刻t系统中故障部件的个数(包括正在被修理的部件)；J(t)表示时刻t修理工的状态，定义如下

则{J(t),N(t),t≥0}是一个二维马尔科夫过程。过程的状态空间Ω={(0,0)}∪{(i,j):i=0,1;j=1,2,…,L}，其中，工作状态空间W={(0,0),(0,1),…,(0,L-1),(1,1),…,(1,L-1)}；故障状态空间F={(0,L),(1,L)}。

定义系统的状态概率:

P0i(t)表示时刻t修理工在休假，系统中有i个部件失效的概率，i=0,1,…,L；

P1i(t)表示时刻t修理工在修理，系统中有i个部件失效的概率，i=1,…,L。

则由Markov过程理论得如下系统状态概率满足的微分差分方程组

(1)

n= 1,2,…,L-1

(2)

(3)

(4)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1P1n-1(t),n= 2,…,R-1

(5)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1bP1n-1(t),

n=R+ 1,…,L-1

(6)

μR + 1P1R + 1(t) +λR-1P1R-1(t)

(7)

(8)

其中

2.2 微分差分方程组的求解

定义系统的状态概率向量P(t)=[P00(t),P01(t)…,P0L(t),P11(t),…,P1L(t)]T，对上述微分方程组求Laplace变换，将变换后的方程组写成矩阵形式

D(s)P*(s)=P(0)

(9)

其中，A2是第一行第一列元素为-μ1，其余元素全为0的(L+1)×L矩阵；

其中

把用P(0)代替D(s)的第L+1列、第2L+1列所得到的矩阵分别记为D1(s)和D2(s)。

引理1[6]令Dk+1表示k+1阶的三对角矩阵，则其行列式为

|Dk+1|=dk+1k+1|Dk|-dk+1kdkk+1|Dk-1|,

k=1,2,…,n(n≥2)

(10)

其中

引理2

(11)

令S=-λ,则D(s)=D(-λ)=D(0)-λI=A-λI,因此有

|D(s)|=|A-λI|=(-1)N+L|λI-A|=

引理3

(12)

其中ΔL(s)是三对角矩阵A4的行列式。

该引理可由引理1的迭代公式求得。

引理4

其中，ΔL-1(s)是B4划去第一列最后一行得到的矩阵的行列式，是三对角矩阵的行列式，可由引理1得出；Δi-1(s),i=1,2,…,L-1是ΔL-1(s)的i-1级顺序主子式，也都是三对角形式的矩阵，可由引理1得出。

引理5

|D2(s)|=(-1)L+2θΔL-1(s)·L(s)

(13)

其中

i=1,2,…,L-3,

ΔL-1(s),xi(i=1,2,…,L-1)

由引理4给出。

显然，det[B4]=(-1)L+2θΔL-1(s)。

由矩阵乘法得到

上式中最后一个行列式按最后一行展开有

其中βi有引理中的形式。

因此，

定理1 系统处于失效状态的概率为

(14)

(15)

其中

k=2,…,mn;

k=2,…,mn

其中

Fn(s)=an1+an2(s+rn)+…+anmn(s+rn)mn-1+(s+rn)mn·

n=1,2,…,i;

Fn′(s) =an1+an2(s+rn) + … +anmn(s+rn)mn -1+ (s+rn)mn·

n= 1,2,…,i

(16)

(17)

由文献[9]，按照有多重极点的部分分式展开法求解有

(18)

(19)

反演(18)和(19)式即得定理结论。

定理2 系统的瞬时可用度

(20)

证明由文献[10]，系统的瞬时可用度

A(t) = 1-P0L(t)-P1L(t) =

当t→∞时，对(20)式求极限，得到系统的稳态可用度[10]，结果如下推论1。

推论1

1) 当D(0)无零特征根时，系统的稳态可用度A=1；

2)当D(0)有单重零特征根时，系统的稳态可用度

其中ri+1=0是D(0)的单重零特征根。

参考文献：

[1]傅国强，杨文鹏.两部件热贮备系统的可靠性分析[J].西北纺织工业学报，1995,9(1): 42-48.

[2]吴清太.二部件温贮备可修系统的可靠性分析[J].南昌大学学报，1999,23(3): 283-286.

[3]WANG K H,SIVAZLIAN B D. Reliability of a system with warm standbys and repairmen[J]. Microelectron Reliab,1989,29(5): 849-860.

[4]刘鸣，苏保河.修理工多重休假两部件冷贮备可修系统[J].石家庄铁道学院学报，1994,7(3): 47-52.

[5]岳德权,祁洪娟,曹静，等.修理工N-策略休假的带有温贮备的可修系统的可靠性分析[J].工程数学学报，2009,26(6): 1062-1068.

[6]JAIN M,MAHESHWARI R S. N-policy for a machine repair system with spares and reneging[J]. Applied Mathematical Modeling,2004,28(6): 513-531.

[7]WANG K H,KE J C. Probabilistic analysis of a repairable system with warm standbys plus balking and reneging[J]. Applied Mathematical Modeling,2003,27(4): 327-336.

[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].3版,北京:高等教育出版社,2003.

[9]汤全武,李德敏,陈晓娟.信号与系统[M].武汉:华中科技大学出版社,2008.

[10]曹晋华,程侃.可靠性数学[M].北京:科学出版社,1986.