基于逐步回归的GPS高程拟合方法研究

翟高鹏，花向红，刘金标，赵言

(1.武汉大学测绘学院，湖北武汉 430079； 2.武汉大学灾害监测与防治研究中心，湖北武汉 430079；3.武汉市勘测设计研究院，湖北武汉 430022)

基于逐步回归的GPS高程拟合方法研究

翟高鹏1，2∗，花向红1，2，刘金标3，赵言1，2

(1.武汉大学测绘学院，湖北武汉 430079； 2.武汉大学灾害监测与防治研究中心，湖北武汉 430079；3.武汉市勘测设计研究院，湖北武汉 430022)

介绍基于逐步回归的GPS高程拟合方法原理和实现步骤，并通过SAS统计软件计算实现。通过实例计算，并与二次曲面拟合模型结果进行了比较，验证了方法的正确性。

逐步回归；GPS高程；曲面拟合；显著性检验

1 引 言

GPS测量具有速度快、精度高、全天候和不要求地面通视等特点。它不仅能获取平面位置，而且能得到高精度的大地高[1]。但GPS测定的大地高是以WGS－84椭球面为基准面的，它与我国采用的以似大地水准面为基准面的正常高系统不一致。随着社会发展需要，无论是区域似大地水准面精化或在实际工程应用中，将GPS大地高转换为正常高都是非常必要的。

目前解决GPS高程转换问题的方法主要有两种:一是用地球重力场模型直接求高程异常ζ，但该方法需要足够多且精度足够的重力测量资料，从我国现有的重力资料来看难以满足现实需要。第二种方法是用数学模型拟合的方法，也是最常用的方法。该方法是综合利用GPS测量和水准测量的资料，获得部分GPS点的高程异常值，然后用一个函数模型来模拟该区域的高程异常曲面，最后通过内插方法求解区域内任意一点的高程异常。求得了高程异常，再由大地高与正常高的转化关系即可得GPS点的正常高。根据拟合数学模型的不同，又有加权平均法、多面函数法、曲面拟合等方法[2，3]。本文是在一般多次曲面拟合法基础上，提出基于逐步回归的GPS高程多次曲面拟合法，通过与一般多次曲面拟合结果的对比分析，得到一些有益结论。

2 基于逐步回归的GPS高程拟合

2.1 方法原理

在一定范围内，高程异常ζ可以看做是平面坐标x，y或大地坐标B、L的函数，多次曲面拟合法的模型为:

其中ε为随机误差。函数f(x，y，xy…)中的每一项看做是因变量ζ所对应函数的自变量。多次曲面拟合模型是把x，y，xy…(B，L，BL…)这些自变量全部考虑进行建模分析，而逐步回归法的思想是先选入最显著的因子，建立单因子拟合模型，然后再对自变量进行一个一个地引入，引入变量的条件是其偏回归平方和经检验是显著的。每引入一个新变量后，对已选入的变量还要进行逐个检验，将不再显著的变量剔除，从而保证最后所得的变量子集中的所有变量都是显著的。这就是逐步回归的方法[4]。

2.2 方法实现步骤

基于逐步回归的GPS高程拟合方法的步骤，以多次曲面拟合为例如下:

假设有n组GPS大地高与水准联测点数据，已引入模型的自变量因子为x，y，函数模型此时为:

变为:

增加一个自变量为xy，相应的资料向量为xyn×1，式(3)写为:

式(3)与式(4)的差别仅在于自变量的个数不同，因而变量的个数以及观测资料都没有改变。要确定变量xy是否进入变量子集，只需检验假设:

检验统计量为:

其中k为式(3)中的自变量个数，如果经检验假设H0∶a3＝0被接受，则变量不能入选；若H0∶a3＝0被拒绝，则变量xy应入选。

每引入一个新变量后，还要对已选入的变量进行逐个检验，将不显著的变量剔除，从而保证最后所得的变量子集中的所有变量都是显著的。本文假设经上步假设检验后自变量xy入选，下面要考察x，y，xy，看其中是否有变量需要被剔除，不妨先考察x。考察的步骤与引入变量的步骤类似，只需要把变量引入步骤中的xy项与x项互换，构造出如式(6)的统计检验量，根据设定的显著性水平对被检验项进行剔除或保留。

按以上方法选入变量与剔除变量，经过若干步骤，直到多次曲面拟合模型中所有的变量因子全部是显著因子为止。

3 实例分析

3.1 算例一

结合工程应用需求，采用SAS统计软件，实现了基于逐步回归的GPS高程拟合方法。采用某沿江地形平缓区域的GPS控制网的数据，该网有无粗差同精度的水准点17个。平均边长约1 km，区域面积约10 km2。其坐标和大地高为国家GPS网B级要求施测、正常高为二等水准测量施测[3]。测量点的点位分布如图1所示。

图1 某沿江地形平缓地区的GPS控制网

通过软件计算，并与常规的二次曲面拟合模型结果进行了比较。其结果如下:基于逐步回归的GPS高程拟合模型(引入与剔除因子的显著性水平α均设为0.05)为:

二次曲面拟合模型为:

计算时，为了考察两种方法的拟合精度，将2、3、8、20、21五个点作为外部检核点不参与拟合。分别根据模型(7)、(8)进行内插并求得检核点的高程异常，计算了拟合值的残差和精度，如表1所示。

由表1可以看出:二次曲面拟合模型与逐步回归模型都达到了比较高的精度，数值上逐步回归精度略高一些，但总体而言没有显著的差别。说明该区域可以用曲面模型来拟合高程异常，解决GPS大地高与正常高的转化问题。

检核点高程异常拟合残差及精度 表1

3.2 算例二

本文还选取了《莆田市高精度三维控制网的建立及似大地水准面精化工程》的部分测量数据进行了拟合实验分析。所选数据为11个分布比较均匀的GPS与水准联测点，并且分布在两个海岛上，已知点覆盖面积约200 km2[4]。本次建模是用经纬度作为自变量，其计算过程及设定的显著性指标均与算例一相同。分别采用逐步回归方法与二次曲面拟合模型进行运算，得到的逐步回归拟合模型为:

二次曲面拟合模型为:

其中，△B、△L为点的大地坐标与该区域点的平均纬度和平均经度之差。将D001、D003、D004、496P、D133作为外部检核点，不参与拟合。分别根据模型(9)、(10)进行内插并求得检核点的高程异常，计算了拟合值的残差和精度，如表2所示。

由表2可以看出:通过逐步回归的算法最后得到的是一个平面模型，但该模型相对于二次曲面拟合模型精度有了明显的提高。说明对该区域采用基于逐步回归的GPS高程多次曲面拟合模型有助于提高一般多次曲面拟合模型的精度。

检核点高程异常拟合残差及精度 表2

4 结 论

在多次曲面拟合中的自变量之间可能会相互影响，或者说存在线性相关。有些自变量单独看可能对因变量起作用，但与其他变量放在一起其作用可能就会被其他变量所代替，使其在拟合中的作用微不足道。再或者有些自变量对于因变量没有显著作用。基于逐步回归的多次曲面拟合模型在因子选取上对参选因子的显著性进行了检验，保证了入选因子在模型中都是显著的。计算表明，基于逐步回归的GPS高程多次曲面拟合模型具有较好的拟合效果，当拟合范围比较大时，采用逐步回归方法能明显提高多次曲面拟合模型的精度。

[1] 张正禄，邓勇，罗长林等.利用GPS精化区域似大地水准面[J].大地测量与地球动力学，2006(11):14～17

[2] 高伟，徐绍铨.GPS高程分区拟合转换正常高的研究[J].武汉大学学报信息科学版，2004(10):908～911

[3] 胡伍生，高成发.GPS测量原理及其应用[M].北京:人民交通出版社，2002

[4] 花向红.跨海大桥的测量基准与监测技术研究[D].武汉大学博士论文，2006

[5] 王黎明，陈颖，杨楠.应用回归分析[M].上海:复旦大学出版社，2008

[6] 徐绍铨，张海华，杨志强等.GPS测量原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社，2006

Research on GPS Elevation Fitting Methods Based on Stepwise Regression

Zhai Gaopeng1，2，Hua Xianghong1，2，Liu Jinbiao3，Zhao Yan1，2
(1.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China；3.Wuhan Geotechnical Engineering and Surveying Institute，Wuhan 430022，China)

The article introduced the principle of GPS elevation fitting method based on stepwise regression，which is realized by SAS software.Through calculation，and be compared with quadric surface fitting model results，the correctness of the method is validated.

stepwise regression；GPS elevation；fitting of surface；significance test

2011—06—05

翟高鹏(1985—)，男，硕士研究生，主要研究精密工程测量与工程变形监测等。

国家自然科学基金资助项目(40901214)

1672－8262(2011)05－84－03

P228.43

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