再探无固定悬挂点单摆的周期

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030)

《物理通报》2009年第4期刊登了《探讨无固定悬挂点单摆的周期》[1]一文，深入浅出地探讨了无固定悬挂点单摆的周期问题.但笔者认为文中存在几个问题.

(1)动能定理只适用于惯性参考系，不适用于非惯性参考系；

(2)在惯性参考系中不考虑惯性力；

(3)动量守恒定律只适用于惯性参考系，不适用于非惯性参考系．考虑了以上问题后，笔者对这个问题有以下分析.不当之处还请各位物理同仁批评指正．

1 无固定悬挂点单摆模型

如图1，光滑的水平杆上，有一个圆环O，质量为M，圆环上悬挂一单摆，单摆的摆长为l，摆球的质量为m，摆线长远大于摆球及圆环的半径．初始时单摆与竖直方向成θ(θ<5°)角度.求单摆运动的周期．

图1

2 摆球相对于圆环的周期

2．1 根据求解

便可以把物体运动的周期求出．

选摆球为研究对象，以圆环为原点建立坐标系，分析物体受力.从图1 可知摆球所受回复力为

f=mgsinθ+maMcosθ

(1)

我们只需求出aM的值，即可求得回复力的值．

而选圆环为研究对象以地面为参考系，可得

Tsinθ=MaM

(2)

摆球所受向心力为

(3)

图2

如图2所示，设此时圆环的水平速度为v环，摆球相对小圆环的速度为v相，则由机械能守恒定律与水平方向上动量守恒定律得

mgl(cosθ-cosθ0)=

(v相cosθ-v环)2]

(4)

m(v相cosθ-v环)=Mv环

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

求得

T=mgcosθ-maMsinθ+

(7)

因为θ角为微小角，则cosθ、cosθ0按幂级数展开都近似等于1，则

cosθ-cosθ0=0

于是式(7)变为

T=mgcosθ-maMsinθ

(8)

把式(8)代入式(2)可得

(9)

其中cosθ≈1,sin2θ≈0.把式(9)代入式(1)可得

由于θ为微小量，有θ≈sinθ.所以

得

摆球相对于圆环的振动周期为

2．2 根据vmax=Aω求解

若θ为细线与竖直方向的最大夹角，以圆环为参考系，取摆球为研究对象，由式(6)可得两物体的最大相对速度为

而摆球相对于圆环的振幅则为

2．3 建立微分方程求解

摆球在微振动时，圆环由于受到细绳的拉力也在水平杆上做往复运动，我们取图1所示位置进行分析，此时圆环受到的合外力F=Tsinθ=MaM．取摆球为研究对象且以圆环为参考系，此时的参考系是一个非惯性系，列方程时则要考虑惯性力．若求出了参考系的惯性加速度即aM，就可列出单摆的振动方程

即

(10)

再把式(9)代入后得

解微分方程可得θ的通解，求得单摆的周期为

3 摆球相对于地面的周期

3．1 根据求解

图3

由于圆环与摆球在水平方向上所受合外力为零，因此两者组成的系统的质心坐标在水平方向上保持不变，如图3所示．

由质心定理可得

MxM=mxm

即Ml1=ml2

又因为l1+l2=l，所以

所以摆球相对于地面的回复力为

所以

故摆球相对于地面的运动周期为

3．2 根据vmax=Aω求解

若θ为细线与竖直方向的最大夹角，以地面为参考系，取摆球为研究对象，由动能定理可得

(11)

由水平方向上动量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(12)

由式(11)、(12)可得

(13)

(14)

3．3 建立微分方程求解

由图2可知摆球振动过程中的回复力为

Fm=mgsinθ

可求得

4 圆环相对于地面的周期

4．1 根据求解

所以

4．2 根据vmax=Aω求解

若θ为细线与竖直方向的最大夹角，以地面为参考系取摆球为研究对象，由动能定理得

(15)

由水平方向上动量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(16)

由式(15)、(16)可得

(17)

(18)

(19)

由水平方向上动量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(20)

由式(11)、(12)可得

(21)

(22)

5 讨论与总结

根据以上所求得的周期可以得出如下结论．

(1)摆球对环的周期、摆球对地的周期及环对地的周期都相等，我们说系统的振动周期也是

(2)无论取地面为参考系还是取圆环为参考系，摆球的运动周期均为

若M≫m时，就可得到摆球一般形式的运动周期

由于圆环的运动周期也为

因此可以说由摆球与圆环所组成的系统其振动周期为

(3)取地面为参考系，摆球所受回复力为

Fm=mgsinθ

振幅为

圆环所受回复力为

FM=MaM=mgsinθ

振幅为

可得

Fm=FMAM≠Am

即摆球与圆环所受回复力相等但振幅不相同．其振幅之所以不同的原因是摆球与圆环的质量不同，只有当M=m的特殊情况下，二者运动的振幅才相同．

(4)若原题中水平杆由光滑的变为粗糙的，求解思路还是一样，以上所使用的三种方法均可用，唯一需要变动的只是求解圆环加速度aM时加上摩擦力的贡献即可，但须注意此时圆环与摆球在水平方向所受合外力不再为零，二者的动量不再守恒.

通过比较以上求解方法我们可以看出，建立微分方程求解，虽然思路清晰，步骤简洁，对中学物理教师有一定的参考价值，但中学生缺乏求解微分方程的准备知识，难以理解，因此这种方法有一定的局限性．

(1)分析研究对象所受力，列出其回复力的表达式．

(2)回复力表达式中需要求解的未知量一般为所选参考系的非惯性加速度，因此要列方程进而对其求解．

(3)把所求未知量代入回复力的表达式，简化为F=-κx的形式，得到κ的值．

1 韩娟，郑修林，李春梅.探讨无固定悬挂点单摆的周期.物理通报，2009(4)：2