对2010年高考题中“地月双星系统”的进一步探究

王文涛 张凤莲

(东北师大附中 吉林 长春 130021)

继2008年高考宁夏卷考查双星系统后，2010年全国高考理综卷Ⅰ和重庆卷再次出现了以地球和月球为双星系统的考题．在这里笔者认为，“地月双星系统”中地球和月球做匀速圆周运动所围绕的O点的位置需要进一步探究．试看2010年高考全国Ⅰ卷中的原题．

【题目】如图1，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G．

图1

(1)求两星球做圆周运动的周期．

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1．但在近似处理问题时，可认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2．已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg．求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)

解析：在这里，我们关心的不是这道题该如何解答，而是“地月双星系统”中O的位置究竟在哪里．下面做具体的分析．

地月平均距离r=3.8×108m

地球半径R地=6.4×106m

月球半径R月=1.7×103m

地球质量m地=6.0×1024kg

月球质量m月=7.3×1022kg

设地球和月球围绕它们连线上的某一固定点O分别做匀速圆周运动的轨道半径分别为r地和r月，周期均为T．则

(1)

(2)

r地+r月=r

(3)

由式(1)、(2)、(3)，得

r地≈4.7×106m

r月≈3.8×108m

从以上数据可以看出来月球的轨道半径非常接近地月平均距离，固定点O大约距地心0.73R地处．该固定点O即为地月双星系统的质心，如图2所示．

图2