用光电门测直线运动瞬时速度的误差分析

马驰

(上虞中学 浙江 上虞 312300)

1 引言

中学物理实验中测量物体瞬时速度的仪器主要有打点计时器和光电门(包括数字计时器,又称数字毫秒计)两种；其原理都是用某一段过程的平均速度近似代替某一时刻(或位置)的瞬时速度．打点计时器是用某一段时间内的平均速度来近似代替某一时刻的瞬时速度，而光电门是用某一段位移内的平均速度来近似代替某一位置的瞬时速度．

光电门的作用是借助于光源和光敏管，光源与光敏管相对，它射出的光使光敏管感光．当物体经过挡光孔时，光电门开始计时；当物体离开挡光孔时，光电门停止计时．若已知运动物体的挡光长度为Δx，数字计时器记录下该物体的挡光时间为Δt，即可以得出物体在挡光过程中的平均速度

求物体的瞬时速度v，就是求平均速度在Δt→0时的极限值，即

2 光电门测得匀变速直线运动的瞬时速度的误差分析

做匀变速直线运动的长方体物块，其长度为Δx，从左向右经过光电门的示意图如图1所示．

图1

2.1 测量速度v测量与实际速度v实际

在A位置，物块右端经过挡光孔，挡光开始，数字计时器开始计时.在B位置，物块质心正经过挡光孔，此时长方体物块的速度就是经过光电门所在位置时的实际瞬时速度，记作v实际.在C位置，物块左端经过挡光孔，挡光结束，数字计时器停止计时.设数字计时器读数为Δt，根据光电门的工作原理，长方体物块在经过光电门所在位置时速度的测量值为

2.2 利用匀变速直线运动的规律分析的误差

v实际就是物体由A位置运动到B位置过程中，物块的末速度或者由B位置运动到C位置的初速度.设在A位置物块速度为vA，在C位置物块速度为vC，加速度为a，由A到B

(1)

由B到C

(2)

v测量就是物体由A运动到C过程的平均速度，等于由A运动到C过程时间中点的瞬时速度．

(3)

则v测量2-v实际2=

所以

v测量

2.3 利用运动方程分析v测量的误差

物块做匀变速直线运动的运动方程为

(4)

v=v0+at

(5)

由式(4)、(5)消去t

(6)

设物块在A、C两位置对应的时刻为

有

(7)

由式(4)、(5)、(7)得

(8)

物块在A、C两位置时对应的xt为

(9)

由式(4)、(5)、(9)得

代入式(8)，结合式(6)，得

(10)

由(10)式可以看出，当Δt≠0时，v测量

2.4 利用图像分析的误差

物块在做匀加速直线运动和匀减速直线运动的v-t图像分别如图2、图3所示．A、C之间的时间间隔为Δt，O是AC的时间中点，ABED所围面积等于BCFE所围面积．

图2 图3

由v-t图像的物理意义可知，光电门的v测量就是物体由A运动到C过程的平均速度，等于由A运动到C过程时间中点的瞬时速度

v实际就是物体由A运动到C过程中位移中点B的瞬时速度

v实际=vB

由图像可得

vO

所以，得

v测量

3 光电门测得弹簧振子运动的瞬时速度的误差分析

设弹簧振子作简谐运动，初始时刻振子在左侧最大位移处.向右到平衡位置的过程中经过光电门的示意图如图4所示．

图4

3.1 利用运动方程分析的误差

取向左为正方向，运动方程可表示为

x=Acosωt

(11)

v=-ωAsinωt

(12)

由式(11)、(12)可得振子在某位置x处，x与v的关系为

(13)

设振子在A、C两位置对应的时刻为

因而有

(14)

振子质心在挡光孔处，即位置A、C处对应的xt为

(15)

将式(11)代入式(14)、(15)，消去t，并结合式(13)可得

(16)

由(16)式可以看出，当Δt≠0时，v测量

3.2 利用v-t图像分析v测量的误差

振子做简谐运动的v-t图像如图5．A、C之间的时间间隔为Δt，O是AC的时间中点，O点对应的速度称之为v时中.ABED所围面积等于BCHE所围面积，即B是AC的位移中点.B点对应的速度称之为v位中．FG是过K点且与v-t图像相切的直线．

图5

由图像可知

v实际=v位中>v时中

又

且

SACJI=SACGF>SACHD

故

v时中>v测量

所以

v测量

4 结束语

如果用光电门测匀速直线运动的速度，易证明v测量=v实际．

打点计时器相对于光电门的可靠性要差一些.但用打点计时器结合纸带测量匀变速直线运动的瞬时速度时，只要恰当选取包含测量点的一段的起点和终点，就不会带来原理上的误差．实验中应根据需要选择适合的仪器．

1 周勇.对光电门测得的瞬时速度的误差分析.物理实验， 2009,29(1)：24～26