例谈用数学方法探究物理实验系统误差

方轩锋 黄尚鹏

(监利县朱河中学 湖北 监利 433325)

1 半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析

半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示.实验操作步骤如下.

图1

(1)开关S1、S2闭合前，将滑动变阻器R1的阻值调到最大．

(2)闭合开关S1，调节滑动变阻器R1，使电流表满偏．

(3)保持开关S1闭合，滑动变阻器不动，闭合开关S2，调节电阻箱R2的阻值，使电流表半偏．

(4)记下此时电阻箱R2的阻值，则电流表的内阻Rg=R2．

本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即R1≫Rg；这样就可近似认为开关S2闭合前后干路中的总电流是不变的．但事实上，当开关S2闭合后，干路中的总电流是变大的.当电流表半偏时，通过电阻箱R2的电流比通过电流表的电流要大.根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小．下面从理论上用数学方法对该实验的系统误差进行分析．

假定电源的电动势为E，内阻为r，电流表的满偏电流为Ig．

闭合开关S1，调节滑动变阻器R1，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得

E=Ig(R1+r+Rg)

(1)

闭合开关S2，调节电阻箱R2的阻值，使电流表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及并联分流公式得

(2)

联立式(1)和(2)，消除E和Ig得

(3)

由式(1)解得

将其代入式(3)得

(4)

由式(3)可知R2

由式(4)可知Rg与R2的相对误差为

(5)

由式(5)可知，电源的电动势越大，相对误差就越小．

结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即R1≫Rg.而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，而且为了防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配.可见电源的电动势的大小对误差起主导作用．

2 用弹簧振子测弹簧的劲度系数实验系统误差分析

图2

设弹簧质量分布均匀，弹簧处于原长时，弹簧上考察的任一点到弹簧固定端P的距离为l(0≤l≤l0，l0为弹簧的原长)．选水平向右为正方向.当振子偏离平衡位置的位移为x时，设此时振子的速度为v，弹簧上考察点到弹簧固定端P的距离变为l′(l′与l一一对应).显然与振子固连在一起的弹簧末端到P的距离由l0变为l0+x.根据比例关系

可求得

因此弹簧上考察点偏离原来位置的位移为

(6)

在(6)式两边对时间求导，可求得此时弹簧上该点的速度为

下面采用微元分析法运用定积分的知识求出整根弹簧的动能．

图3

因此整根弹簧的动能

故弹簧振子的动能

由此求出

结论：按照理想弹簧振子的模型测得的弹簧的劲度系数比真实值小，主要原因是弹簧的质量对振动周期的影响.因此为了减小实验误差，应使振子的质量远大于弹簧的质量，即M≫m；或测出弹簧的质量m，采用修正后的周期公式进行计算．

1 人民教育出版社物理室编著.全日制普通高级中学教科书(必修加选修)物理第二册.北京：人民教育出版社，2003.6

2 郑永令,贾起民.力学.上海：复旦大学出版社，1989.10

3 张大同.高中物理竞赛辅导.西安：陕西师范大学出版社，2000.6