点击2011年高考数学中的图象试题

441000 湖北省襄阳市第一中学 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水县实验高中 潘翠玲

430062 湖北大学中学数学编辑部 曹 丹

点击2011年高考数学中的图象试题

441000 湖北省襄阳市第一中学 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水县实验高中 潘翠玲

430062 湖北大学中学数学编辑部 曹 丹

图象是表示函数的一种重要形式，其最大优点是直观，给出已知条件要求学生识别图象、根据所给图形要求学生匹配出相应图象、没有图象要求学生数形结合巧妙地利用图象解题等是高考考查的重要内容之一．本文以2011年高考试题为载体，谈图象题的类型及解法．

1 识图

给出解析式，要求学生读懂题意，定性分析函数的性质，如单调性、奇偶性等，结合选择支不难找出正确答案．

2 译图

图2

图3

综上可知，本题应选B．

点评 本题考查利用导数判断函数单调性的有关知识，考查识图、译图及用图的能力，难度较大．

图6

点评 本题主要考查平面图形的折叠问题、二面角以及代入法求曲线的轨迹方程等知识，综合性较强，考查了空间想象能力，难度中等．

例10 (2011年江西文)如图7，一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．

今使“凸轮”沿x轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为

图7

图8

所以M到x轴的距离是先增大再减小再增大再减小……，呈现周期性的变化;最高点到x轴的距离一直为圆弧的半径a．综上所述，本题应选A．

点评 本题考查了学生的数学观察能力、数学感悟能力及实际操作能力，主要运用数形结合思想求解，是一道优秀的创新题．

例11 (2011年江西理)如图9，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N在大圆内所绘出的图形大致是

图9

图10

点评 本题综合考查了圆的有关知识、弧长公式等，重点考查动手操作能力和创新思维能力，是一道难得的好题．

3 用图

华罗庚指出:“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”．有些题若能借助图象直观去解，即数形结合，则可收到事半功倍的效果．

图11

图12

图13

图14

图15

图16

图17

由图可知两函数图象在［-3，3］上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．

点评 本题考查函数图象的画法、三角函数的诱导公式，考查数形结合、转化与化归思想及换元法的应用，同时考查逻辑思维、抽象概括能力，本题对能力要求较高，难度较大．

例19 (2011年重庆理)设m，k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m+k的最小值为

A.-8 B.8 C.12 D.13

解 方程mx2-kx+2=0在区间(0，1)内有两个不同的根可转化为二次函数f( x)=mx2-kx+2在区间(0，1)内有两个不同的零点．

将k看作自变量，m看作函数值，画出可行域如图18阴影部分所示．因为m，k均为整数，结合可行域并利用逐步调整法可知k=7，m=6时，m+k最小，最小值为13．故选D．

点评 本题考查一元二次方程根的分布、平面区域中整点最优解的寻找方法等，考查学生的数形结合思想、转化与化归的能力，题目综合性强，难度极大．

图18

20110726)