用试探函数法求 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解

冯庆江,李 岩,杨利垚

(长春师范学院 数学学院,吉林 长春 130032)

用试探函数法求 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解

冯庆江,李 岩,杨利垚

(长春师范学院 数学学院,吉林 长春 130032)

通过引入一个新的变换,然后采用试探函数法,将非线性偏微分方程化为代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,最后求出 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解。

组合 Zakharov-Kuznetsov方程;试探函数法;孤子解

1 试探函数法的基本思想

考虑如下一类非线性偏微分方程

其中 ai(i=1,2,3,……)为任意常数。

为了求解上述方程,首先引入一个变换,然后选取适当的函数,就可以将非线性偏微分方程 (1)化为非线性代数方程,从而求出方程的解。

2 Zakharov-Kuznetsov方程的求解

Zakharov-Kuznetsov方程 (简称 ZK方程)用于描述水波在 (2+1)维空间的运动形式,它是著名的 KDV方程模型的推广,具体形式如下:

文献[1]用试探函数法成功地求解了(1+1)维非线性偏微分方程,本文在文献[1]的基础上将这种方法推广到(2+1)维非线性偏微分方程,并且选取两种不同的试探函数求解 ZK方程。

2.1 第一种试探函数选取法

引入变换

其中 v(z)和 z(x,y,t)为试探函数,我们把试探函数 z(x,y,t)选取为如下形式

若选取试探函数 v(z)为

将式 (6)～式(10)代入方程(2)后,得代数方程

要使(11)成立,必须使方程的系数为零,即

联立(12)、(13)得方程的解

将(14)代入(6)式得

上式就是 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解。

2.2 第二种试探函数选取法可将上式化简为

通过(16)可以求得波速为

将(22)～(26)式代入(2)式,经过整理后得到如下一组非线性代数方程

要使上式成立,必须有

由(28)、(29)得到

将(30)代入(22)得

再将 (20)式代入(31)得

波速为:

通过(16)式和 (33)式可知,我们采用了不同的试探函数,但是却得出了相同的结果。

[1] 谢元喜,唐驾时.用试探函数法求 KdV-Burgers方程的精确解析解[J].湖南大学学报：自然科学版,2005,32(6)：118-120.

[2] 谢元喜,唐驾时.求一类非线性偏微分方程解析解的一种简捷方法[J].物理学报,2004,53(9)：2828-2830.

[3] 张恩明.利用试探方程法求mKdV方程组的精确行波解[J].哈尔滨师范大学：自然科学学报,2007,23(3)：26-28.

[4] 闫振亚,张鸿庆.组合 Zakharov-Kuznetsov方程的显式孤波解[J].纯粹数学与应用数学,2000,16(2)：31-35.

责任编辑：钟 声

Searching for the soliton solution toZakharov-Kuznetsovequation by means of trial function method

FENGQing-jiang,L I Yan,YANGLi-yao
(College ofMathematics,Changchun NormalUniversity,Changchun 130000,China)

The nonlinear partial differential equation is converted into algebraic equation by introducing a new transformation and using trial function method,then undeter mined coefficientmethod is used to deter mine corresponding constants.Finally,the soliton solution toZakharov-Kuznetsovequation is obtained.

combinedZakharov-Kuznetsovequation;trial function method;soliton solution

O175.2

A

1009-3907(2010)06-0008-02

2010-04-30

冯庆江(1981-),男,河北卢龙人,硕士研究生,主要从事孤立子理论方向研究。