一个向心力问题的解法讨论

李朝栋

(宁河县芦台第一中学 天津 宁河 301500)

物体在竖直面内圆周轨道上运动位于最低点时，由弹力和重力的合力充当向心力.如果轨道固定，则可由向心力公式直接计算弹力的大小.但是，如果轨道不是固定的，即圆心位置移动时，弹力的大小又应该如何计算？现在通过一个例题来说明这一问题.

如图1所示，已知光滑的圆弧槽质量为M，半径为R，放在光滑水平面上.质量为m的小球可视为质点，从圆弧顶端A点滑下，求小球滑至圆弧最低点时球对槽的压力.

图1

下面比较两种不同的解法.

解法一：

首先求出小球滑至弧底时小球和槽相对于地面的速度，这是一个常规的动量守恒问题，设小球和圆弧槽的速度分别为v和V，由水平方向的动量守恒和系统机械能守恒

MV=mv

(1)

(2)

解得

(3)

(4)

以m相对于地面的速度代入向心力公式

(5)

可得

(6)

解法二：

以二者相对速度计算向心力，因为v向右，V向左，所以二者的相对速度为

(7)

代入向心力公式

(8)

解得

(9)

两种解法的结果是不同的，哪个结果正确呢？

当小球运动时，由于系统水平动量守恒，圆弧槽出现了水平向左的速度，即轨道的圆心在向左移动，小球在整个运动过程中，相对于槽做的是圆周运动.由于圆心的移动，使小球相对于地面所做并非圆周运动，不能简单地以地面为参照系代入向心力公式求解.如果采用小球相对于地面的运动进行计算，就必须先确定小球相对于地面的运动轨迹，然后找出其运动到最低点时的曲率半径，方法如下：

解法三：

以圆弧槽开始运动时圆心的位置O点为原点建立平面直角坐标系，如图2所示.当小球滑至某点P点时，圆弧槽的圆心位置为O′，设OO′=X，则P点的坐标可以表示为

x=X+Rcosθ

(10)

y=Rsinθ

(11)

图2

由上述两个方程消去参数θ可得

(x-X)2+y2=R2

(12)

为了计算X的值,我们来看二者所组成的系统的质心位置,初始时系统质心的横坐标为

(13)

小球滑至P点时,系统质心的横坐标为

(14)

由于系统在水平方向上所受合外力为零,由质心运动定理可知，系统质心的横坐标不变，所以

xC1=xC2

(15)

由(13) (14) (15)式可得

(16)

代入(12)式,得

(17)

此为一椭圆方程,其轨迹如图3中虚线所示,

图3

且半长轴为a=R

当小球位于槽的最低点，即相对于地面的椭圆轨道的最低点(图3中Q点)时,曲率半径为

(18)

应用牛顿第二定律

(19)

解得

(20)

这种方法的结果与上述解法二相同.出现上述结果的原因是：小球相对于轨道的圆心O点的距离是不变的，即小球相对于圆弧槽所做的是圆周运动，而在小球下落过程中，圆心相对于地面是移动的，小球相对于地面作的并不是圆周运动，所以不能直接应用圆周运动的规律求解,解法一是不合理的.

再看解法二的合理性，主要的问题是圆弧槽参考系是否为惯性系的问题，小球下落过程中，槽有加速度，是非惯性系，但当小球落至最低点时，圆弧槽所受的外力全在竖直方向上，因而没有加速度，满足惯性系的条件.因此，在小球处于最低点时，以圆弧槽为参考系解决问题是合理的，即，可以采取解法二中方法用两个物体相对运动的速度计算向心力.

此例还可以推广到其他类似情况，如:

(1)质量为M滑块穿在光滑水平杆上,与质量为m的小球由轻质细杆相连,杆长为l,初始时轻杆处于水平状态，求当摆球运动至最低点时,杆对球的拉力.

图4

(2)质量为M、半径为R的圆环放在光滑水平面上,质量为m的小球(可视为质点)可在圆环内侧运动，初始时小球处于与圆心等高的位置从静止开始释放，求当小球运动到圆环的最低点时,小球对环的压力.

图5