舞动的五角星

张海生

忆往昔，2007年10月24日18：05，中国嫦娥1号月球探测卫星发射成功！看明朝，2008年8月8日~24日第29届奥林匹克运动会在中国北京举办!每每想起这些万众瞩目、激动人心的时刻，同学们一定为中国的辉煌喝彩!心中也一定有一面五星红旗在冉冉升起！

下面我们就从五星红旗上的五角星中角的求和问题谈起吧.

例1如图1，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.

解析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠1=∠C+∠B，∠2=∠D+∠E，进一步得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.也可以连接BE，如图2，在△CDO和△BOE构成的图形中由∠D+∠C=∠OBE+∠OEB，从而把五角星ABCDE的五个内角“放”到了△BEA中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为180°.

评注：把多边形问题转化为三角形问题来解决，是解决多边形问题的基本思想.因此当求一个图形中多个角的和时，常把它们的和化归为一个多边形的内角和，如利用三角形的内角与外角关系解决.你知道∠D+∠C=∠OBE+∠OEB的原因吗？其实这是一个非常重要的结论，在很多角的求和问题中非常有用.

例2将图2中的点A向下移到CD上时，如图3，五个角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有无变化？如图4，点A继续向下移到CD下方时，五个角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有无变化？如图5，CD长度变短时，五个角的和，即∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E有无变化？如图6，点A移到DC上，点B向上移动到DE上时，五个角的和即∠BAE＋∠C＋∠ABC＋∠D＋∠E有无变化？

解析：为了更方便解决4个变形图中五个角的和问题，可以连接BE，构造上面“蝴蝶形”图形，在△CDO和△BOE中由∠D+∠C=∠OBE+∠OEB，图6中根据三角形外角与内角的关系，从而把五角星ABCDE的五个内角“放”到了△BEA中，根据三角形内角和定理即可求出五个角的和仍为180°.

评注：相信此时同学们已经感觉到“蝴蝶形”图形中的结论“如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等”的妙用.同学们不妨也尝试一下，当五角星作其他变形后，用此种方法解决问题比例1中的第一种思路更好用.当然这只适合于做填空、选择题，对于解答题一定要写一下推理过程.

同学们快来亲自试一试上面方法的妙处吧!

1.如图7，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5.

2.如图8，由平面上五个点A、B、C、D、E连接而成，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.

3.如图9（1）、（2），任作两个七角星形（不必是正七角星），试计算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G．（友情提示：用图中的辅助线，如图10，即可解决问题）

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